Η ιστορία μιας γατούλας...

#1

Σε ένα ευθύγραμμο και οριζόντιο τούνελ μήκους $\displaystyle{AB=a}$ βρίσκεται μια
γατούλα στο σημείο $\displaystyle{C}$ . Σε κάποια στιγμή ακούει το σφύριγμα του τραίνου $\displaystyle{T}$
που πλησιάζει να μπει στο τούνελ και τότε αποφασίζει να βγει από το τούνελ
κατευθυνόμενη προς την έξοδο $\displaystyle{A}$ . Όμως το τραίνο την πατάει ακριβώς στο
σημείο αυτό. Αν η γάτα αποφάσιζε να ξεφύγει από το σημείο $\displaystyle{B}$ , δυστυχώς
και πάλι το τραίνο θα την πατούσε στο σημείο $\displaystyle{B}$ .

: Τούνελ 1.png (1.71 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Να δείξετε ότι τα άκρα $\displaystyle{A,B}$ του τούνελ καθώς και τα αρχικά σημεία της
γάτας $\displaystyle{C}$ και του τραίνου $\displaystyle{T}$ αποτελούν αρμονική τετράδα,
όταν οι κινήσεις της γάτας και του τραίνου είναι ευθύγραμμες και ομαλές.
Υπάρχει περίπτωση η γάτα να σωθεί;

(Προσαρμογή από παλαιότερο διαγωνισμό του ΑΣΕΠ)

kkala · #2

Έστω

το μέτρο της ταχύτητας του τραίνου και

της γάτας. Αναφορά στο σχήμα της #1(KDORTSI).

Όταν η γάτα κατευθύνεται προς το Α, τραίνο και γάτα φθάνουν στο Α ταυτόχρονα σε χρόνο t1=(CA)/v=(TA)/V

.
Αν η γάτα κατευθυνθεί προς το Β, τραίνο και γάτα φθάνουν στο Β ταυτόχρονα σε χρόνο t2=(CB)/v=(TB)/V

.
Άρα

και συνεπώς τα (A, B, C, T)

αποτελούν αρμονική τετράδα.

Η γάτα προλαβα'ινει να βγεί από το τούνελ (οπότε σώζεται) στην περίπτωση που
(CA)/v<(TA)/V

εφόσον κατευθύνεται στο Α, δηλαδή v/V>(CA)/(TA)

ή

εφόσον κατευθύνεται στο Β, δηλαδή v/V>(CB)/(TB)

Εαν τα A, B, C, T παραμένουν σε θέση όπως παραπάνω (σχηματίζοντας αρμονική τετράδα), είναι (CA)/(TA)=(CB)/(TB)

= $\lambda$
Επομένως η γάτα σώζεται αν η ταχύτητά της υπερβαίνει την $v=\lambda V$ , παίρνοντας την κατεύθυνση είτε προς Α είτε προς Β. Η ταχύτητα

πρέπει να εκληφθεί σαν μέση ταχύτητα.
Στην πράξη βέβαια η γάτα είναι προτιμότερο να κατευθυνθεί προς Β (αντίθετα με την παρόρμησή της) διότι η διαδρομή είναι συντομότερη. Άρα δίνει τη δυνατότητα μεγαλύτερης μέσης ταχύτητας και λιγότερης σπατάλης δυνάμεων εκ μέρους της.

#3

KDORTSI έγραψε: Τρί Σεπ 29, 2020 9:35 pm Σε ένα ευθύγραμμο και οριζόντιο τούνελ μήκους $\displaystyle{AB=a}$ βρίσκεται μια
γατούλα στο σημείο $\displaystyle{C}$ . Σε κάποια στιγμή ακούει το σφύριγμα του τραίνου $\displaystyle{T}$
που πλησιάζει να μπει στο τούνελ και τότε αποφασίζει να βγει από το τούνελ
κατευθυνόμενη προς την έξοδο $\displaystyle{A}$ . Όμως το τραίνο την πατάει ακριβώς στο
σημείο αυτό. Αν η γάτα αποφάσιζε να ξεφύγει από το σημείο $\displaystyle{B}$ , δυστυχώς
και πάλι το τραίνο θα την πατούσε στο σημείο $\displaystyle{B}$ .
Να δείξετε ότι τα άκρα $\displaystyle{A,B}$ του τούνελ καθώς και τα αρχικά σημεία της
γάτας $\displaystyle{C}$ και του τραίνου $\displaystyle{T}$ αποτελούν αρμονική τετράδα,
όταν οι κινήσεις της γάτας και του τραίνου είναι ευθύγραμμες και ομαλές.
Υπάρχει περίπτωση η γάτα να σωθεί;

(Προσαρμογή από παλαιότερο διαγωνισμό του ΑΣΕΠ)

Απάντηση στο ερώτημα:

"Υπάρχει περίπτωση η γάτα να σωθεί;"

: Τούνελ 2.png (2.18 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Ναί, υπάρχει, αν η αρχική θέση $\displaystyle{C}$ της γάτας είναι το μέσον $\displaystyle{C_o}$ του τμήματος $\displaystyle{AB}$

τότε η θέση $\displaystyle{T}$ του τραίνου θα είναι το "επ' άπειρον" σημείο του φορέα της $\displaystyle{AB}$

Στην περίπτωση αυτή η γάτα θα μπορέσει να σωθεί καθόσον η απόσταση που πρέπει να

διανύσει το τραίνο θα είναι άπειρη.

Κώστας Δόρτσιος

Η ιστορία μιας γατούλας...

Η ιστορία μιας γατούλας...

Re: Η ιστορία μιας γατούλας...

Re: Η ιστορία μιας γατούλας...

Μέλη σε σύνδεση