Δυσαναλογία

KARKAR · #1

: Δυσαναλογία.png (10.3 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου

, θεωρούμε σημεία S , T

, ώστε : $\overset{\frown}{ST}=\dfrac{2}{3}\overset{\frown}{BS}$ . Ονομάζουμε S' , T'

τις προβολές των S , T

στην

. Μπορούμε να επιλέξουμε τα S , T

έτσι , ώστε : T'S' = S'B

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 17, 2021 7:59 am
Δυσαναλογία.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε σημεία , ώστε : $\overset{\frown}{ST}=\dfrac{2}{3}\overset{\frown}{BS}$ . Ονομάζουμε

τις προβολές των στην . Μπορούμε να επιλέξουμε τα έτσι , ώστε : ;

Για

, οπότε το

είναι στον βόρειο πόλο, είναι S'B=R>T'S'

. Θα δείξουμε ότι για μικρά

η ανισότητα είναι ανάποδα, οπότε κάπου στο ενδιάμεσο έχουμε την ποθητή ισότητα.

Αρκεί να δείξουμε ότι για μικρά

είναι

.

Πράγγματι, είναι εύκολο να δούμε ότι η προβολή χορδής που ξεκινά από το

και η οποία ορίζει γωνία $\omega$ στο κέντρο είναι $2R\sin ^2 \frac {\omega}{2}$ . Άρα έχουμε

$S'B= 2R\sin ^2 \dfrac {3a}{2}$ και $T'B= 2R\sin ^2 \dfrac {5a}{2}$ .

Tο ζητούμενο είναι τώρα άμεσο αν παρατηρήσουμε ότι για μικρά

είναι

$T'B= 2R\sin ^2 \dfrac {5a}{2} \approx 2R \left ( \dfrac {5a}{2} \right )^2 > 2\cdot 2R \left ( \dfrac {3a}{2} \right )^2 \approx 2\cdot 2R\sin ^2 \dfrac {3a}{2} = 2S'B$ .

Με λογισμικό βρήκα ότι έχουμε ισότητα όταν $a\approx \dfrac {5\pi}{32}$ (περίπου 28^o

)

Δυσαναλογία

Δυσαναλογία

Re: Δυσαναλογία

Μέλη σε σύνδεση