Επιφάνειες με Τοπική Παραμέτρηση ώστε F = 0

[TrItOs]

Παρακάτω παραθέτω ένα πρόβλημα(ελπίζω να είναι σωστά διατυπωμένο) στο οποίο θα ήθελα να μου δώσετε μια ολοκληρωμένη λύση ή να μου πείτε που θα δω μια ολοκληρωμένη απόδειξη. Επιπλέον, αν υπάρχει κάποια παραλλαγή αυτού του προβλήματος θα ήθελα να την αναφέρετε αν γνωρίζετε ή κάποια πηγή.

Πρόβλημα: Εάν είναι ένα μη ομφαλικό σημείο μίας επιφάνειας . Τότε υπάρχει τοπική παραμέτρηση της που περιέχει το και του οποίου η πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι και .

Δηλαδή, αν είναι μη ομφαλικό(οι κύριες καμπυλότητες να μην είναι ίσες στο σημείο ), τότε υπάρχει τοπική παραμέτρηση της η οποία περιέχει το σημείο με .

Όπου συμβολίζουμε:

συμβολίζουμε μια κανονική επιφάνεια

συμβολίζουμε την τοπική παραμέτρηση της , με

συμβολίζουμε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης.

συμβολίζουμε τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης.

Ερώτημα: Αυτές είναι οι ελάχιστες υποθέσεις του παραπάνου προβλήματος ώστε σε μια κανονική επιφάνεια να μπορούμε να κατασκευάσουμε μια τοπική παραμέτρηση αυτής με ;

Δηλαδή,
Ερώτημα: Σε ποιες επιφάνειες μπορούμε να κατασκευάσουμε μια τοπική παραμέτρηση ώστε ;

[TrItOs]

ή υπάρχει κάποια πηγή να μου στείλετε για να δω την απόδειξη ;

ή διαφορετικά αν γνωρίζετε να μου δώσετε την απόδειξη του θεωρήματος ;

[tractatus]

Αν κατάλαβα, δηλαδή θες παραμέτριση που να διαγωνοποιεί τον μετρικό τάνυση , συμφωνά με αυτό " one cannot diagonalize the metric tensor locally in general (or else every Riemann manifold would be locally isometric to some Euclidean space, which is trivially not true); one can, though, diagonalize very special metrics locally and, also, one can diagonalize every metric pointwise (but not necessarily locally)." δε γίνεται γενικά για πολλαπλότητες, άλλα για κανονικές επιφάνειες Ίσως να γίνεται, δε ξέρω ούτε γω πως όμως. Μια ιδέα θα ήταν να λύσεις τις διαφορικές που προκύπτουν από αυτή την εξίσωση, . Άλλα δεν το έχω κοιτάξει. Ελπίζω να βοήθησα κάπως.