Χωρίς Πυθαγόρειο
Συντονιστής: gbaloglou
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Χωρίς Πυθαγόρειο
Σε τρίγωνο ισχύει (με τον συνήθη συμβολισμό των πλευρών). Μπορούμε να
αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο χωρίς τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος;
αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο χωρίς τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος;
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Θα κάνω μια προσπάθεια:
Χρησιμοποιώ τον Νόμο Ημιτόνων, ο οποίος αποδεικνύεται μέσω του τύπου εμβαδού τριγώνου με τη χρήση ημιτόνου, άρα, νομίζω ότι, δεν κρύβεται κάπου στην πορεία η χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
, εφόσον
οπότε, είτε , απορ.
είτε , με οπότε αφού πρόκειται για γωνία τριγώνου, η ισότητα ισχύει μόνον όταν .
Χρησιμοποιώ τον Νόμο Ημιτόνων, ο οποίος αποδεικνύεται μέσω του τύπου εμβαδού τριγώνου με τη χρήση ημιτόνου, άρα, νομίζω ότι, δεν κρύβεται κάπου στην πορεία η χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
, εφόσον
οπότε, είτε , απορ.
είτε , με οπότε αφού πρόκειται για γωνία τριγώνου, η ισότητα ισχύει μόνον όταν .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Διακριτικά, σε π.μ. ο αγαπητός Γιώργος Βισβίκης έθεσε τον εύστοχο προβληματισμό για τους τύπους τριγωνομετρικών αθροισμάτων: "για την απόδειξη των οποίων χρειάζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών που με τη σειρά τους αποδεικνύονται με το Πυθαγόρειο. Εκτός κι αν υπάρχει άλλη απόδειξη".
Αναζητώντας, λοιπόν, άλλες αποδείξεις, εντόπισα την εξής:
Τριγωνομετρία Ι. Πανάκη, Β΄ Λυκείου ΟΕΔΒ 1978 (το σχολικό μου βιβλίο)
Εκεί βλέπω ότι χρειάζεται αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου, του οποίου η "σύγχρονη" απόδειξη χρησιμοποιεί Νόμο Συνημιτόνων, οπότε ... εμφανίζεται πάλι το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Πάμε, λοιπόν, σε μια παλιά Αναλυτική Γεωμετρία (Βαρουχάκη κ.α. ΟΕΔΒ, νομίζω 1983)
Εκεί δίνει πρώτα τις γραμμικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου και κατόπιν την αναλυτική έκφρασή του.
Έτσι, δεν φαίνεται να εμπλέκεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Τι λέτε;
Αναζητώντας, λοιπόν, άλλες αποδείξεις, εντόπισα την εξής:
Τριγωνομετρία Ι. Πανάκη, Β΄ Λυκείου ΟΕΔΒ 1978 (το σχολικό μου βιβλίο)
Εκεί βλέπω ότι χρειάζεται αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου, του οποίου η "σύγχρονη" απόδειξη χρησιμοποιεί Νόμο Συνημιτόνων, οπότε ... εμφανίζεται πάλι το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Πάμε, λοιπόν, σε μια παλιά Αναλυτική Γεωμετρία (Βαρουχάκη κ.α. ΟΕΔΒ, νομίζω 1983)
Εκεί δίνει πρώτα τις γραμμικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου και κατόπιν την αναλυτική έκφρασή του.
Έτσι, δεν φαίνεται να εμπλέκεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Τι λέτε;
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Χαιρετώ τους Φίλους! Μια προσπάθεια..
Θεωρώ το ώστε . Από την ομοιότητα των τριγώνων και παίρνουμε .
Ισχύει , οπότε
Τώρα και τα τρίγωνα και (με την αναλογία και την κοινή περιεχόμενη) είναι όμοια και μας δίνουν
άρα και τελικά .
Φιλικά, Γιώργος.
Θεωρώ το ώστε . Από την ομοιότητα των τριγώνων και παίρνουμε .
Ισχύει , οπότε
Τώρα και τα τρίγωνα και (με την αναλογία και την κοινή περιεχόμενη) είναι όμοια και μας δίνουν
άρα και τελικά .
Φιλικά, Γιώργος.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
[4G πλέον! ]
Ο Γιώργος Βισβίκης έθεσε ουσιαστικά το θέμα απόδειξης του αντιστρόφου του Πυθαγορείου Θεωρήματος χωρίς χρήση του ευθέος. Το ίδιο ζήτημα με απασχόλησε πριν 18 χρόνια, όταν δίδαξα Γεωμετρία στις ΗΠΑ ακολουθώντας τον Ευκλείδη (1ο Βιβλίο) και παρατήρησα ("How Euclid could have done it") ότι ο Ευκλείδης θα μπορούσε με την ίδια μέθοδο που ακολουθεί στο I.47 (Πυθαγόρειο Θεώρημα) να αποδείξει ΚΑΙ το Ι.48 (αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος).
Η κεντρική ιδέα της απόδειξης του Γιώργου Μήτσιου της Ι.48 μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ΚΑΙ για την Ι.47: φέρνοντας το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου προκύπτουν από ομοιότητες τριγώνων οι και , οπότε .
Τα παραπάνω θέτουν δύο ερωτήματα:
(i) Ποιες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος μπορούν να χρησιμοποιηθούν ΚΑΙ για απόδειξη του αντιστρόφου χωρίς χρήση του ευθέος;
(ii) Υπάρχει 'σοβαρός' λόγος να επιδιώκουμε την 'ανεξαρτησία' του αντιστρόφου από το ευθύ σε κάθε θεώρημα, και πόσο εφικτό είναι αυτό;
Για το (i) θα μπορούσε πιθανώς να γραφεί και ολόκληρο βιβλίο (σε άλλες εποχές μάλλον), το (ii) το είχα θέσει στον φίλο και συνάδελφο Michel Helfgott ... ο οποίος ανασήκωσε αποδοκιμαστικά τα φρύδια ... νομίζοντας ίσως ότι πάει να μου στρίψει ... οπότε μάλλον αποθαρρύνθηκα
Ο Γιώργος Βισβίκης έθεσε ουσιαστικά το θέμα απόδειξης του αντιστρόφου του Πυθαγορείου Θεωρήματος χωρίς χρήση του ευθέος. Το ίδιο ζήτημα με απασχόλησε πριν 18 χρόνια, όταν δίδαξα Γεωμετρία στις ΗΠΑ ακολουθώντας τον Ευκλείδη (1ο Βιβλίο) και παρατήρησα ("How Euclid could have done it") ότι ο Ευκλείδης θα μπορούσε με την ίδια μέθοδο που ακολουθεί στο I.47 (Πυθαγόρειο Θεώρημα) να αποδείξει ΚΑΙ το Ι.48 (αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος).
Η κεντρική ιδέα της απόδειξης του Γιώργου Μήτσιου της Ι.48 μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ΚΑΙ για την Ι.47: φέρνοντας το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου προκύπτουν από ομοιότητες τριγώνων οι και , οπότε .
Τα παραπάνω θέτουν δύο ερωτήματα:
(i) Ποιες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος μπορούν να χρησιμοποιηθούν ΚΑΙ για απόδειξη του αντιστρόφου χωρίς χρήση του ευθέος;
(ii) Υπάρχει 'σοβαρός' λόγος να επιδιώκουμε την 'ανεξαρτησία' του αντιστρόφου από το ευθύ σε κάθε θεώρημα, και πόσο εφικτό είναι αυτό;
Για το (i) θα μπορούσε πιθανώς να γραφεί και ολόκληρο βιβλίο (σε άλλες εποχές μάλλον), το (ii) το είχα θέσει στον φίλο και συνάδελφο Michel Helfgott ... ο οποίος ανασήκωσε αποδοκιμαστικά τα φρύδια ... νομίζοντας ίσως ότι πάει να μου στρίψει ... οπότε μάλλον αποθαρρύνθηκα
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
:Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 07, 2021 4:05 pmΧαιρετώ τους Φίλους! Μια προσπάθεια..
Χωρίς Πυθαγόρειο ..Γ.Β.png
Θεωρώ το ώστε . Από την ομοιότητα των τριγώνων και παίρνουμε .
Ισχύει , οπότε
Τώρα και τα τρίγωνα και (με την αναλογία και την κοινή περιεχόμενη) είναι όμοια και μας δίνουν
άρα και τελικά .
Φιλικά, Γιώργος.
Άξιος απόγονος του ενδόξου παππού, Πυθαγόρα .
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Καλημέρα και καλή εβδομάδαgeorge visvikis έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 06, 2021 4:50 pmΣε τρίγωνο ισχύει (με τον συνήθη συμβολισμό των πλευρών). Μπορούμε να
αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο χωρίς τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος;
στην λαμβάνω τα σημεία ωστε
Τα τρίγωνα είναι όμοια ,λόγω της και της κοινής γωνίας
Οποτε
- Συνημμένα
-
- Xωρίς Πυθαγόρειο.png (71.54 KiB) Προβλήθηκε 1144 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Μ αρέσει η λύση σου ΓιάννηSTOPJOHN έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 08, 2021 1:42 pmΚαλημέρα και καλή εβδομάδαgeorge visvikis έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 06, 2021 4:50 pmΣε τρίγωνο ισχύει (με τον συνήθη συμβολισμό των πλευρών). Μπορούμε να
αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο χωρίς τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος;
στην λαμβάνω τα σημεία ωστε
Τα τρίγωνα είναι όμοια ,λόγω της και της κοινής γωνίας
Οποτε
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Να ευχαριστήσω τους φίλους Γιώργο Ρίζο, Γιώργο Μήτσιο, Γιώργο Μπαλόγλου και τον Γιάννη για την ενασχόλησή τους με το θέμα.
Να πω επίσης ότι μου άρεσαν ιδιαίτερα οι Γεωμετρικές λύσεις του Γιώργου Μήτσιου και του Γιάννη
Έχω μία τριγωνομετρική λύση διαφορετική από του Γιώργου Ρίζου, αλλά διατηρώ κάποιες επιφυλάξεις ως προς την νομιμότητά της.
Έχω και μία Γεωμετρική λύση την οποία έχω ήδη ανεβάσει στο AoPS (όπου προς το παρόν δεν υπάρχει άλλη λύση).
Θα επανέλθω με τις δύο αυτές προσεγγίσεις, αν δεν δοθεί άλλη απάντηση.
Να πω επίσης ότι μου άρεσαν ιδιαίτερα οι Γεωμετρικές λύσεις του Γιώργου Μήτσιου και του Γιάννη
Έχω μία τριγωνομετρική λύση διαφορετική από του Γιώργου Ρίζου, αλλά διατηρώ κάποιες επιφυλάξεις ως προς την νομιμότητά της.
Έχω και μία Γεωμετρική λύση την οποία έχω ήδη ανεβάσει στο AoPS (όπου προς το παρόν δεν υπάρχει άλλη λύση).
Θα επανέλθω με τις δύο αυτές προσεγγίσεις, αν δεν δοθεί άλλη απάντηση.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Καλημέρα σε όλους! Και από μένα το στην ωραία λύση του Γιάννη.
Ευχαριστώ πολύ τους Νίκο και Γιώργο για τα επαινετικά λόγια..τα θεωρώ όπως ο μεγαλύτερος βαθμός (απ' αυτόν που ίσως δικαιούται)
που δίνουμε σε μαθητή, όμως αυτό τον εμψυχώνει και προσπαθεί ακόμη περισσότερο!
Έτσι κι' εγώ προσπάθησα στο παρόν θέμα και υπόσχομαι (ελπίζω εντός της ημέρας)
να υποβάλω μια ακόμη Γεωμετρική λύση που έχω χειρόγραφη.
Φιλικά, Γιώργος
Ευχαριστώ πολύ τους Νίκο και Γιώργο για τα επαινετικά λόγια..τα θεωρώ όπως ο μεγαλύτερος βαθμός (απ' αυτόν που ίσως δικαιούται)
που δίνουμε σε μαθητή, όμως αυτό τον εμψυχώνει και προσπαθεί ακόμη περισσότερο!
Έτσι κι' εγώ προσπάθησα στο παρόν θέμα και υπόσχομαι (ελπίζω εντός της ημέρας)
να υποβάλω μια ακόμη Γεωμετρική λύση που έχω χειρόγραφη.
Φιλικά, Γιώργος
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Καλημέρα ,Ευχαριστώ τους Γιωργηδες και το Νίκο για τα σχόλια τους . Να γράψω σύντομα κάποια σχόλια .Με προβλημάτισε η άσκηση που ζητούσε χωρίς Πυθαγόρειο θεώρημα την απόδειξη και φυσικά δεν γνωρίζω ποσο τα αντίστροφα χωρίς το ευθύ είναι χρήσιμα και πόσο ;; είναι ενα θέμα για συζήτηση. Ακόμη στην προσπάθεια να κατασκευάσω αθροίσματα και διαφορές τμημάτων βρήκα αρκετές κατασκευαστικές δυσκολίες δηλαδή για μια ακόμη φορά βλέπουμε τις χρησιμότητες των γεωμετρικών κατασκευών .Τέλος ευχαριστώ το Γιώργο Βισβίκη για τα αξιόλογα Γεωμετρικά θέματα που προτείνει
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Χαιρετώ και πάλι!
Από τα όμοια παίρνουμε και .
Με πρόσθεση έχουμε . Τότε
και τα τρίγωνα και είναι (λόγω ΠΠΠ) ίσα συνεπώς .
Τέλος
Φιλικά, Γιώργος
Θεωρώ το ώστε και το ώστεgeorge visvikis έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 06, 2021 4:50 pmΣε τρίγωνο ισχύει (με τον συνήθη συμβολισμό των πλευρών). Μπορούμε να
αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο χωρίς τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος;
Από τα όμοια παίρνουμε και .
Με πρόσθεση έχουμε . Τότε
και τα τρίγωνα και είναι (λόγω ΠΠΠ) ίσα συνεπώς .
Τέλος
Φιλικά, Γιώργος
- Συνημμένα
-
- Χωρίς Πυθαγόρειο.png (68.62 KiB) Προβλήθηκε 945 φορές
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Σ' ευχαριστώ πάλι Γιώργο και γι' αυτή την προσέγγιση και να πω ότι μία παραλλαγή (με ελάχιστες διαφορές) είναι και η δική μου λύσηΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 10, 2021 9:13 pmΧαιρετώ και πάλι!Θεωρώ το ώστε και το ώστεgeorge visvikis έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 06, 2021 4:50 pmΣε τρίγωνο ισχύει (με τον συνήθη συμβολισμό των πλευρών). Μπορούμε να
αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο χωρίς τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος;
Από τα όμοια παίρνουμε και .
Με πρόσθεση έχουμε . Τότε
και τα τρίγωνα και είναι (λόγω ΠΠΠ) ίσα συνεπώς .
Τέλος
Φιλικά, Γιώργος
εδώ(#18 ως george_54, όπου υπάρχουν πολλές "μη νόμιμες" προτάσεις, με νόμο συνημιτόνων, Ήρωνα, συντελεστές διεύθυνσης, κλπ.)
Μία άλλη παραλλαγή είχα για αυτήν που τελικά δεν την ανέβασα ποτέ και έμεινε αναπάντητη.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Πολύ γοητευτικές οι αποδείξεις που παρουσιάστηκαν, και πολύ μου άρεσε η 'σιωπηρή εμφάνιση' του ορθογωνίου τριγώνου στην απόδειξη του Γιάννη (#7)! Βεβαίως όλες αυτές οι αποδείξεις βασίζονται σε χρήση λόγων και ομοίων τριγώνων, ενώ αυτή που "θα μπορούσε να είχε παρουσιάσει ο Ευκλείδης" (#5), χρησιμοποιεί μόνον γνώσεις του Πρώτου Βιβλίου (τον ίδιο μηχανισμό με αυτήν του ευθέος, χωρίς όμως να βασίζεται σ' αυτό): η απόδειξη αυτή χρησιμοποιεί εναντιοστροφή, αν δηλαδή η γωνία είναι αμβλεία τότε (όπως εδώ, %5), ενώ αν η γωνία είναι οξεία τότε (όπως στο συνημμένο)^ αν δηλαδή τότε .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Θα δώσω μία τριγωνομετρική λύση και αφήνω την νομιμότητά της στην κρίση σας.
Είναι
Ομοίως είναι και
Από προκύπτει ότι (αφού είναι γωνία τριγώνου).
Έχω επιφυλάξεις για το αν η τελευταία ισοδυναμία σχετίζεται ή όχι με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Είναι
Ομοίως είναι και
Από προκύπτει ότι (αφού είναι γωνία τριγώνου).
Έχω επιφυλάξεις για το αν η τελευταία ισοδυναμία σχετίζεται ή όχι με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Γιώργο θα απαντούσα αρνητικά, καθώς , και για να ταυτίζεται η προβολή του (όποιου) με το πρέπει και αρκεί να είναι ορθή η γωνία .george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 21, 2021 7:24 pmΘα δώσω μία τριγωνομετρική λύση και αφήνω την νομιμότητά της στην κρίση σας.
Χωρίς Πυθαγόρειο.png
Είναι
Ομοίως είναι και
Από προκύπτει ότι (αφού είναι γωνία τριγώνου).
Έχω επιφυλάξεις για το αν η τελευταία ισοδυναμία σχετίζεται ή όχι με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 22, 2021 12:11 pmΓιώργο θα απαντούσα αρνητικά, καθώς , και για να ταυτίζεται η προβολή του (όποιου) με το πρέπει και αρκεί να είναι ορθή η γωνία .george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 21, 2021 7:24 pmΘα δώσω μία τριγωνομετρική λύση και αφήνω την νομιμότητά της στην κρίση σας.
Χωρίς Πυθαγόρειο.png
Είναι
Ομοίως είναι και
Από προκύπτει ότι (αφού είναι γωνία τριγώνου).
Έχω επιφυλάξεις για το αν η τελευταία ισοδυναμία σχετίζεται ή όχι με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
cosA0.png
Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την απάντηση.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
george visvikis έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 22, 2021 5:35 pmgbaloglou έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 22, 2021 12:11 pmΓιώργο θα απαντούσα αρνητικά, καθώς , και για να ταυτίζεται η προβολή του (όποιου) με το πρέπει και αρκεί να είναι ορθή η γωνία .george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 21, 2021 7:24 pmΘα δώσω μία τριγωνομετρική λύση και αφήνω την νομιμότητά της στην κρίση σας.
Χωρίς Πυθαγόρειο.png
Είναι
Ομοίως είναι και
Από προκύπτει ότι (αφού είναι γωνία τριγώνου).
Έχω επιφυλάξεις για το αν η τελευταία ισοδυναμία σχετίζεται ή όχι με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
cosA0.png
Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την απάντηση.
Να είσαι καλά, νομίζω το θέμα έχει ως εξής: ενώ 'ΟΝΤΩΣ χρειαζόμαστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για την , ΔΕΝ το χρειαζόμαστε για τις και !
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Γιώργο στην παραπάνω προσέγγιση Bαρουχάκη (#3) ... απαιτείται η επιμεριστική ιδιότητα ... και η υπόθεση μπλέκει άσχημα, νομίζω...Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 07, 2021 1:49 pmΔιακριτικά, σε π.μ. ο αγαπητός Γιώργος Βισβίκης έθεσε τον εύστοχο προβληματισμό για τους τύπους τριγωνομετρικών αθροισμάτων: "για την απόδειξη των οποίων χρειάζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών που με τη σειρά τους αποδεικνύονται με το Πυθαγόρειο. Εκτός κι αν υπάρχει άλλη απόδειξη".
Αναζητώντας, λοιπόν, άλλες αποδείξεις, εντόπισα την εξής:
Πανάκης 1978.jpg
Τριγωνομετρία Ι. Πανάκη, Β΄ Λυκείου ΟΕΔΒ 1978 (το σχολικό μου βιβλίο)
Εκεί βλέπω ότι χρειάζεται αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου, του οποίου η "σύγχρονη" απόδειξη χρησιμοποιεί Νόμο Συνημιτόνων, οπότε ... εμφανίζεται πάλι το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Πάμε, λοιπόν, σε μια παλιά Αναλυτική Γεωμετρία (Βαρουχάκη κ.α. ΟΕΔΒ, νομίζω 1983)
Εκεί δίνει πρώτα τις γραμμικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου και κατόπιν την αναλυτική έκφρασή του.
Βαρουχάκης (2).jpg
Bαρουχάκης (1).jpg
Έτσι, δεν φαίνεται να εμπλέκεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Τι λέτε;
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Χωρίς Πυθαγόρειο
Υπάρχει συγκεκριμένα θέμα με την κυκλωμένη ισότητα στο συνημμένο: δεν νομίζω ότι προκύπτει η εκεί απαιτούμενη επιμεριστικότητα από τον ορισμό εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων μέσω συνημιτόνου.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες