Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

KARKAR · #1

: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 1144 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2R

, ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο

από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα

, την διχοτόμο

της γωνίας $\widehat{TCA}$ , καθώς και το τμήμα $TQ \perp CP$ .

α) Δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από τον νότιο πόλο

του κύκλου . ( Εξαιρετικό λήμμα )

β) Αν R=2

και $OC=3\sqrt{2}$ , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι : (TPQ)=1

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am
Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου , ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα , την διχοτόμο της γωνίας $\widehat{TCA}$ , καθώς και το τμήμα $TQ \perp CP$ .

α) Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από τον νότιο πόλο του κύκλου . ( Εξαιρετικό λήμμα )

β) Αν και $OC=3\sqrt{2}$ , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι :

.

: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.png (22.13 KiB) Προβλήθηκε 1124 φορές

.
α)Ας είναι

η προβολή του

στη διάμετρο

. Η

είναι η πολική του

ως προς τον κύκλο .

Αν

το σημείο τομής των $TE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC$ το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle TDC$ , όπου

η τομής των $AB\,\,,\,\,TQ$ .

Αβίαστα τώρα προκύπτουν όλες οι κίτρινες γωνίες ίσες άρα $OS//TE \Rightarrow OS \bot AB$ συνεπώς το

είναι ο νότιος πόλος του κύκλου.

Το άλλο αργότερα , αν μπορέσω.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am

β) Αν και $OC=3\sqrt{2}$ , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι :

Για αρκετές ώρες προσπαθούσα να αποδείξω ότι ισχύει και έψαχνα να βρω πού έκανα λάθος. Τελικά δεν ισχύει.

$\displaystyle (TPQ) = \frac{1}{6}\sqrt {7\left( {3 - \sqrt 7 } \right)} \left( {\sqrt {6 - 2\sqrt 7 } + \sqrt {9\sqrt 7 - 15} } \right) \simeq 0,9999950488...$

#4

α) Στο σχήμα του Νίκου πιο πάνω με $D\equiv TQ\cap AB$ . Το τρίγωνο $\vartriangle TCD$ είναι προφανώς ισοσκελές (το ύψος του ταυτίζεται με τη διχοτόμο) και συνεπώς
$\angle TDC=\angle DTC\Rightarrow \tau o\xi .TBS=\tau o\xi .TB+\tau o\xi .AS$ $\Rightarrow \tau o\xi .TB+\tau o\xi .BS=\tau o\xi .TB+\tau o\xi .AS\Rightarrow \ldots$

ο νότιος πόλος του κύκλου

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 5:46 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am

β) Αν και $OC=3\sqrt{2}$ , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι :
Για αρκετές ώρες προσπαθούσα να αποδείξω ότι ισχύει και έψαχνα να βρω πού έκανα λάθος. Τελικά δεν ισχύει.

$\displaystyle (TPQ) = \frac{1}{6}\sqrt {7\left( {3 - \sqrt 7 } \right)} \left( {\sqrt {6 - 2\sqrt 7 } + \sqrt {9\sqrt 7 - 15} } \right) \simeq 0,9999950488...$

Γιώργο το λογισμικό το δίνει άμεσα ότι δεν γίνεται . Δεν έγραψα τίποτε με σκοπό να βρω το ακριβές . Βλέποντας όμως πολλά άρρητα νούμερα την "σούταρα"

Είναι από τις "τοξικές" ασκήσεις που ενίοτε βάζει ο Θανάσης , που όμως δεν παραπονιέμαι για δύο λόγους :

1) Σε προειδοποιεί εμμέσως πλην σαφώς .

2) Είναι τόσες οι ωραίες ασκήσεις που βάζει (για όλα τα "βαλάντια" παρακαλώ) που και να μην είναι όλες "διαμάντια" δεν πειράζει!

Ο θεός να τον έχει καλά που βρίσκω και ασχολούμαι με κάτι που δεν με "πληγώνει" στους αλλοπρόσαλλους καιρούς που ζούμε .

: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση_b.png (50.84 KiB) Προβλήθηκε 1062 φορές

KARKAR · #6

: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 5:46 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am

β) Αν και $OC=3\sqrt{2}$ , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι :
Για αρκετές ώρες προσπαθούσα να αποδείξω ότι ισχύει και έψαχνα να βρω πού έκανα λάθος. Τελικά δεν ισχύει.

$\displaystyle (TPQ) = \frac{1}{6}\sqrt {7\left( {3 - \sqrt 7 } \right)} \left( {\sqrt {6 - 2\sqrt 7 } + \sqrt {9\sqrt 7 - 15} } \right) \simeq 0,9999950488...$

Γιώργο , αν θέλεις μπορείς να σκιαγραφήσεις την λύση που δίνει την προσέγγιση που βρίσκεις .

Η ανάρτηση φαίνεται να βγάζει ένα αποτέλεσμα εντυπωσιακό , αφού είναι τόσο κοντά στο

.

Αυτό συμβαίνει διότι πήραμε : $OC=3\sqrt{2}\simeq 4.2426407$ . Αν παίρναμε : $OC\simeq 4.2644839$ ,

θα βρίσκαμε αποτέλεσμα πολύ πιο κοντά στο

( με πάνω από

εννιάρια ) !

Τελικός στόχος να δειχθεί ότι : $(PQT)_{max}=\dfrac{R^2}{4}$ , βλέπε : εδώ .

Νίκο , ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια !

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 05, 2021 8:07 am

Γιώργο , αν θέλεις μπορείς να σκιαγραφήσεις την λύση που δίνει την προσέγγιση που βρίσκεις .

: Σύμπτωση;.png (18.09 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

$\displaystyle \bullet$ Πρώτα βρίσκω $\displaystyle TC = \sqrt {14}$ και $\displaystyle \cos 2\theta = \frac{{\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \cos \theta = \sqrt {\frac{{3 + \sqrt 7 }}{6}}$

$\displaystyle \bullet$ Στη συνέχεια υπολογίζω $\displaystyle QC = \sqrt {\frac{{7\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}}{3}} ,QT = \sqrt {\frac{{7\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}}{3}}$

$\displaystyle \bullet$ Με νόμο συνημιτόνου στο POC

παίρνω, $\displaystyle PC = \sqrt {9 + 3\sqrt 7 } + \sqrt {3\sqrt 7 - 5}$

$\displaystyle \bullet$ Τέλος αντικαθιστώ τις τιμές που έχω βρει στον τύπο $\displaystyle (PQT) = \frac{{QT(PC - QC)}}{2}$ και, με κάποιο "συμμάζεμα", προκύπτει το τελικό αποτέλεσμα.

#8

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 9:48 pm

Είναι από τις "τοξικές" ασκήσεις που ενίοτε βάζει ο Θανάσης , που όμως δεν παραπονιέμαι για δύο λόγους :

1) Σε προειδοποιεί εμμέσως πλην σαφώς .

2) Είναι τόσες οι ωραίες ασκήσεις που βάζει (για όλα τα "βαλάντια" παρακαλώ) που και να μην είναι όλες "διαμάντια" δεν πειράζει!

Ο θεός να τον έχει καλά που βρίσκω και ασχολούμαι με κάτι που δεν με "πληγώνει" στους αλλοπρόσαλλους καιρούς που ζούμε .
[/color][/b]

Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση_b.png

Αγαπητέ Νίκο τα είπες όλα στην τελευταία σου πρόταση -- Χρόνια Πολλά, να είσαι καλά!

[Συμφωνώ και με όλα τα προηγούμενα, και σημειώνω την έκφραση "για όλα τα βαλάντια", που άκουγα συχνά από τον πατέρα μου

]

Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Μέλη σε σύνδεση