Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13152
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am

Δεν μπορεί  να είναι σύμπτωση.png
Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές
Στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2R , ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο C από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα CT , την διχοτόμο CP της γωνίας \widehat{TCA} , καθώς και το τμήμα TQ \perp CP .

α) Δείξτε ότι η ευθεία TQ διέρχεται από τον νότιο πόλο S του κύκλου . ( Εξαιρετικό λήμμα )

β) Αν R=2 και OC=3\sqrt{2} , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι : (TPQ)=1 :!:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8372
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 04, 2021 10:08 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am
Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου AOB=2R , ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο C από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα CT , την διχοτόμο CP της γωνίας \widehat{TCA} , καθώς και το τμήμα TQ \perp CP .

α) Δείξτε ότι η ευθεία TQ διέρχεται από τον νότιο πόλο S του κύκλου . ( Εξαιρετικό λήμμα )

β) Αν R=2 και OC=3\sqrt{2} , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι : (TPQ)=1 :!:
.
Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.png
Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.png (22.13 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές
.
α)Ας είναι E η προβολή του T στη διάμετρο AB. Η ET είναι η πολική του C ως προς τον κύκλο .

Αν H το σημείο τομής των TE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC το H είναι ορθόκεντρο του \vartriangle TDC , όπου D η τομής των AB\,\,,\,\,TQ.

Αβίαστα τώρα προκύπτουν όλες οι κίτρινες γωνίες ίσες άρα OS//TE \Rightarrow OS \bot AB συνεπώς το S είναι ο νότιος πόλος του κύκλου.

Το άλλο αργότερα , αν μπορέσω.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11175
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 04, 2021 5:46 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am

β) Αν R=2 και OC=3\sqrt{2} , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι : (TPQ)=1 :!:
Για αρκετές ώρες προσπαθούσα να αποδείξω ότι ισχύει και έψαχνα να βρω πού έκανα λάθος. Τελικά δεν ισχύει.

\displaystyle (TPQ) = \frac{1}{6}\sqrt {7\left( {3 - \sqrt 7 } \right)} \left( {\sqrt {6 - 2\sqrt 7 }  + \sqrt {9\sqrt 7  - 15} } \right) \simeq 0,9999950488...


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4350
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Δεκ 04, 2021 5:57 pm

α) Στο σχήμα του Νίκου πιο πάνω με D\equiv TQ\cap AB . Το τρίγωνο \vartriangle TCD είναι προφανώς ισοσκελές (το ύψος του ταυτίζεται με τη διχοτόμο) και συνεπώς
\angle TDC=\angle DTC\Rightarrow \tau o\xi .TBS=\tau o\xi .TB+\tau o\xi .AS \Rightarrow \tau o\xi .TB+\tau o\xi .BS=\tau o\xi .TB+\tau o\xi .AS\Rightarrow \ldots S ο νότιος πόλος του κύκλου


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8372
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 04, 2021 9:48 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 5:46 pm
KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am

β) Αν R=2 και OC=3\sqrt{2} , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι : (TPQ)=1 :!:
Για αρκετές ώρες προσπαθούσα να αποδείξω ότι ισχύει και έψαχνα να βρω πού έκανα λάθος. Τελικά δεν ισχύει.

\displaystyle (TPQ) = \frac{1}{6}\sqrt {7\left( {3 - \sqrt 7 } \right)} \left( {\sqrt {6 - 2\sqrt 7 }  + \sqrt {9\sqrt 7  - 15} } \right) \simeq 0,9999950488...
Γιώργο το λογισμικό το δίνει άμεσα ότι δεν γίνεται . Δεν έγραψα τίποτε με σκοπό να βρω το ακριβές . Βλέποντας όμως πολλά άρρητα νούμερα την "σούταρα"

Είναι από τις "τοξικές" ασκήσεις που ενίοτε βάζει ο Θανάσης , που όμως δεν παραπονιέμαι για δύο λόγους :

1) Σε προειδοποιεί εμμέσως πλην σαφώς .

2) Είναι τόσες οι ωραίες ασκήσεις που βάζει (για όλα τα "βαλάντια" παρακαλώ) που και να μην είναι όλες "διαμάντια" δεν πειράζει!

Ο θεός να τον έχει καλά που βρίσκω και ασχολούμαι με κάτι που δεν με "πληγώνει" στους αλλοπρόσαλλους καιρούς που ζούμε .

Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση_b.png
Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση_b.png (50.84 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13152
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 05, 2021 8:07 am

Δεν μπορεί  να είναι σύμπτωση.png
Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
george visvikis έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 5:46 pm
KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:16 am

β) Αν R=2 και OC=3\sqrt{2} , εξετάστε αν αληθεύει η διαπίστωση , ότι : (TPQ)=1 :!:
Για αρκετές ώρες προσπαθούσα να αποδείξω ότι ισχύει και έψαχνα να βρω πού έκανα λάθος. Τελικά δεν ισχύει.

\displaystyle (TPQ) = \frac{1}{6}\sqrt {7\left( {3 - \sqrt 7 } \right)} \left( {\sqrt {6 - 2\sqrt 7 }  + \sqrt {9\sqrt 7  - 15} } \right) \simeq 0,9999950488...
Γιώργο , αν θέλεις μπορείς να σκιαγραφήσεις την λύση που δίνει την προσέγγιση που βρίσκεις .

Η ανάρτηση φαίνεται να βγάζει ένα αποτέλεσμα εντυπωσιακό , αφού είναι τόσο κοντά στο 1 .

Αυτό συμβαίνει διότι πήραμε : OC=3\sqrt{2}\simeq 4.2426407 . Αν παίρναμε : OC\simeq 4.2644839 ,

θα βρίσκαμε αποτέλεσμα πολύ πιο κοντά στο 1 ( με πάνω από 13 εννιάρια ) !

Τελικός στόχος να δειχθεί ότι : (PQT)_{max}=\dfrac{R^2}{4} , βλέπε : εδώ .

Νίκο , ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11175
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 05, 2021 9:08 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 05, 2021 8:07 am

Γιώργο , αν θέλεις μπορείς να σκιαγραφήσεις την λύση που δίνει την προσέγγιση που βρίσκεις .
Σύμπτωση;.png
Σύμπτωση;.png (18.09 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές
\displaystyle  \bullet Πρώτα βρίσκω \displaystyle TC = \sqrt {14} και \displaystyle \cos 2\theta  = \frac{{\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \cos \theta  = \sqrt {\frac{{3 + \sqrt 7 }}{6}}

\displaystyle  \bullet Στη συνέχεια υπολογίζω \displaystyle QC = \sqrt {\frac{{7\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}}{3}} ,QT = \sqrt {\frac{{7\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}}{3}}

\displaystyle  \bullet Με νόμο συνημιτόνου στο POC παίρνω, \displaystyle PC = \sqrt {9 + 3\sqrt 7 }  + \sqrt {3\sqrt 7  - 5}

\displaystyle  \bullet Τέλος αντικαθιστώ τις τιμές που έχω βρει στον τύπο \displaystyle (PQT) = \frac{{QT(PC - QC)}}{2} και, με κάποιο "συμμάζεμα", προκύπτει το τελικό αποτέλεσμα.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3022
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση ?

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Δεκ 06, 2021 8:21 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 9:48 pm

Είναι από τις "τοξικές" ασκήσεις που ενίοτε βάζει ο Θανάσης , που όμως δεν παραπονιέμαι για δύο λόγους :

1) Σε προειδοποιεί εμμέσως πλην σαφώς .

2) Είναι τόσες οι ωραίες ασκήσεις που βάζει (για όλα τα "βαλάντια" παρακαλώ) που και να μην είναι όλες "διαμάντια" δεν πειράζει!

Ο θεός να τον έχει καλά που βρίσκω και ασχολούμαι με κάτι που δεν με "πληγώνει" στους αλλοπρόσαλλους καιρούς που ζούμε .
[/color][/b]

Δεν μπορεί να είναι σύμπτωση_b.png
Αγαπητέ Νίκο τα είπες όλα στην τελευταία σου πρόταση -- Χρόνια Πολλά, να είσαι καλά!

[Συμφωνώ και με όλα τα προηγούμενα, και σημειώνω την έκφραση "για όλα τα βαλάντια", που άκουγα συχνά από τον πατέρα μου :) ]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KDORTSI και 2 επισκέπτες