Θεώρημα Πτολεμαίου από το Πυθαγόρειο;
Συντονιστής: gbaloglou
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Θεώρημα Πτολεμαίου από το Πυθαγόρειο;
Το Θεώρημα του Πτολεμαίου, , υπάρχει στην Μεγίστη Σύνταξη το ιδίου, και η απόδειξη που δίνει ο συγγραφέας είναι η γνωστή που υπάρχει στα Σχολικά βιβλία. Ο λόγος που υπάρχει εκεί το Θεώρημα είναι για να αποδείξει (σε ισοδύναμη μορφή) τον τύπο . Ακριβέστερα, η εφαρμογή του Θεωρήματος για την απόδειξη του αναπτύγματος χρησιμοποιεί την ειδική περίπτωση όπου η μία πλευρά του τετραπλεύρου είναι διάμετρος του κύκλου. Δηλαδή ο Πτολεμαίος δεν χρησιμοποιεί το πλήρες Θεώρημα όπως το διατύπωσε και απέδειξε ο ίδιος.
Η ερώτηση μου είναι αν υπάρχει απόδειξη του Θεωρήματος Πτολεμαίου για την ειδική περίπτωση (όπου η μία πλευρά του τετραπλεύρου είναι διάμετρος), κάνοντας χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
Η βοήθειά σας είναι ευπρόσδεκτη. Υπόψη ότι είναι σχεδόν βέβαιο ότι το Θεώρημα του Πτολεμαίου προϋπήρχε του Πτολαμαίου και ήταν γνωστό στον Ίππαρχο και ίσως, ακόμη νωρίτερα, στον Αρχιμήδη πλην όμως δεν έχουμε τις αποδείξεις τους. Έχουμε μόνο ενδείξεις από τα συμφραζόμενα.
Προσοχή όμως, αν βρείτε την απόδειξη που ζητώ, δεν πρέπει να κάνει χρήση των Τριγωνομετρικών τύπων για το ή τα παρεμφερή, αφού θέλουμε να καταλήξουμε σε αυτούς.
Δεν ξέρω την απάντηση, έχω πάντως συλλογισμούς προς αυτή την κατεύθυνση που είναι μακροσκελείς. Το όλο σκηνικό μου χρειάζεται για την εργασία που έχω αναθέσει προς μελέτη στην μεταπτυχιακή μου φοιτήτρια που ασχολείται με το θέμα.
Η ερώτηση μου είναι αν υπάρχει απόδειξη του Θεωρήματος Πτολεμαίου για την ειδική περίπτωση (όπου η μία πλευρά του τετραπλεύρου είναι διάμετρος), κάνοντας χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
Η βοήθειά σας είναι ευπρόσδεκτη. Υπόψη ότι είναι σχεδόν βέβαιο ότι το Θεώρημα του Πτολεμαίου προϋπήρχε του Πτολαμαίου και ήταν γνωστό στον Ίππαρχο και ίσως, ακόμη νωρίτερα, στον Αρχιμήδη πλην όμως δεν έχουμε τις αποδείξεις τους. Έχουμε μόνο ενδείξεις από τα συμφραζόμενα.
Προσοχή όμως, αν βρείτε την απόδειξη που ζητώ, δεν πρέπει να κάνει χρήση των Τριγωνομετρικών τύπων για το ή τα παρεμφερή, αφού θέλουμε να καταλήξουμε σε αυτούς.
Δεν ξέρω την απάντηση, έχω πάντως συλλογισμούς προς αυτή την κατεύθυνση που είναι μακροσκελείς. Το όλο σκηνικό μου χρειάζεται για την εργασία που έχω αναθέσει προς μελέτη στην μεταπτυχιακή μου φοιτήτρια που ασχολείται με το θέμα.
- Συνημμένα
-
- ptolem apo pyth.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Θεώρημα Πτολεμαίου από το Πυθαγόρειο;
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά σε όλους!
Αν η διάμετρος και το τετράπλευρο, τότε θεωρώ την προβολή του σημείου
στην ως και ονομάζω .
Τότε,
Από την ομοιότητα των τριγώνων , έχουμε
Οπότε, η σχέση με τα ριζικά γράφεται:
.
Αν η διάμετρος και το τετράπλευρο, τότε θεωρώ την προβολή του σημείου
στην ως και ονομάζω .
Τότε,
Από την ομοιότητα των τριγώνων , έχουμε
Οπότε, η σχέση με τα ριζικά γράφεται:
.
Κώστας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Θεώρημα Πτολεμαίου από το Πυθαγόρειο;
Κώστα, ευχαριστώ ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ για την κομψή λύση.
Δεν είχα σκεφτεί αν επιτρέπεται ή όχι η ομοιότητα αλλά δεν βλέπω τον λόγο να αποκλειστεί. Όπως και να είναι, μου δίνει ιδέες για νέα διαπραγματεύση του όλου θέματος.
Οποιαδήποτε άλλη αντιμετώπιση, ευπρόσδεκτη.
Δεν είχα σκεφτεί αν επιτρέπεται ή όχι η ομοιότητα αλλά δεν βλέπω τον λόγο να αποκλειστεί. Όπως και να είναι, μου δίνει ιδέες για νέα διαπραγματεύση του όλου θέματος.
Οποιαδήποτε άλλη αντιμετώπιση, ευπρόσδεκτη.
Re: Θεώρημα Πτολεμαίου από το Πυθαγόρειο;
Δεν έχει Π. Θεώρημα και ίσως είναι άκυρο.
Ας είναι οι προβολές των στην ευθεία και έστω π.χ. .
Η θα τέμνει ακόμα το ημικύκλιο στο .
Επειδή στο τραπέζιο η διάμεσος του είναι και απόστημα προς την θα έχω: .
. .
Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα .
Από τη γνωστή σχέση , και από τα τρίγωνα : έχω:
. Η λόγω της δίδει: .
Ας είναι οι προβολές των στην ευθεία και έστω π.χ. .
Η θα τέμνει ακόμα το ημικύκλιο στο .
Επειδή στο τραπέζιο η διάμεσος του είναι και απόστημα προς την θα έχω: .
. .
Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα .
Από τη γνωστή σχέση , και από τα τρίγωνα : έχω:
. Η λόγω της δίδει: .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Θεώρημα Πτολεμαίου από το Πυθαγόρειο;
Έστω τα μέσα των και οι προβολές των αντίστοιχα στην Θέτω
Τώρα χρησιμοποιώ την ταυτότητα:
άρα
Τώρα χρησιμοποιώ την ταυτότητα:
άρα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Θεώρημα Πτολεμαίου από το Πυθαγόρειο;
Σας ευχαριστώ και τους τρεις για τις ωραιότατες απαντήσεις.
Επεξεργάζομαι το θέμα, και θα επανέλθω.
Επεξεργάζομαι το θέμα, και θα επανέλθω.
Re: Θεώρημα Πτολεμαίου από το Πυθαγόρειο;
Στο παραπάνω σχήμα τα είναι τα κάθετα τμήματα στην από τα αντίστοιχα.
Ισχύουν:
και
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις καθώς και τις , παίρνουμε ρίζες και μετά αφαιρούμε κατά μέλη και έχουμε την
Αρκεί συνεπώς να αποδείξουμε ότι
Είναι
και με τη βοήθεια των
Άρα
και εφόσον τα κόκκινα είναι αντίθετα έχουμε:
, δηλαδή το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες