Υπάρχουν άλλα;

∫ot.T. · #1

Τρία σημεία S, T, Q είναι σταθερά στο επίπεδο με $\widehat{SQT}\neq 90^{\circ}$ .

Δύο σημεία A, B κινούνται στον φορέα του QT με $A\not\equiv B$ .

Αν υπάρχουν A, B με $\widehat{ASQ}=\widehat{BSQ}$ και AT=BT

να εξεταστεί αν αυτά είναι τα μοναδικά που έχουν τις παραπάνω ιδιότητες.

#2

ΟΧΙ -- θέτοντας Q=(0,0), T=(t,0), S=(p,r), A=(a,0), B=(b,0),

οι εξισώσεις των SA, SB

είναι

αντίστοιχα, οπότε η $\theta _1=\theta _2$ δίνει $\dfrac{|ra|}{\sqrt{(p-a)^2+r^2}}=\dfrac{|rb|}{\sqrt{(p-b)^2+r^2}}$ και τελικά $ab=\dfrac{(p^2+r^2)t}{p}$ ενώ η AT=BT

δίνει

: είναι δηλαδή τα a, b

οι δύο ρίζες της δευτεροβάθμιας $u^2-2tu+\dfrac{(p^2+r^2)t}{p}=0$ (η οποία έχει πάντοτε δύο πραγματικές ετερόσημες ρίζες καθώς pt<p^2+r^2

... λόγω

).

[Ένα παράδειγμα: αν S=(-1,2),

τότε $A=\left(t-\sqrt{t^2+5t},0\right), B=\left(t+\sqrt{t^2+5t},0\right)$ .]

#3

∫ot.T. έγραψε: Παρ Οκτ 13, 2023 8:29 pm Τρία σημεία S, T, Q είναι σταθερά στο επίπεδο με $\widehat{SQT}\neq 90^{\circ}$ .

Δύο σημεία A, B κινούνται στον φορέα του QT με $A\not\equiv B$ .

Αν υπάρχουν A, B με $\widehat{ASQ}=\widehat{BSQ}$ και
να εξεταστεί αν αυτά είναι τα μοναδικά που έχουν τις παραπάνω ιδιότητες.

Αφού τα σημεία S, Q, T

είναι ορισμένα, τότε το πρόβλημα ανάγεται στο μονοσήμαντο της κατασκευής τριγώνου SAB

αν γνωρίζουμε την κορυφή

και τα ίχνη Q, T

της διχοτόμου και της διαμέσου που άγονται από αυτή την κορυφή.

Θα επανέλθω σε επόμενη ανάρτηση για την κατασκευή.

#4

∫ot.T. έγραψε: Παρ Οκτ 13, 2023 8:29 pm Τρία σημεία S, T, Q είναι σταθερά στο επίπεδο με $\widehat{SQT}\neq 90^{\circ}$ .

Δύο σημεία A, B κινούνται στον φορέα του QT με $A\not\equiv B$ .

Αν υπάρχουν A, B με $\widehat{ASQ}=\widehat{BSQ}$ και
να εξεταστεί αν αυτά είναι τα μοναδικά που έχουν τις παραπάνω ιδιότητες.

: Υπάρχουν άλλα;.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 1421 φορές

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

και η μεσοκάθετη της

την

στο

Τέλος, ο κύκλος

(O, ON)

τέμνει την

στα

και ολοκληρώνεται η κατασκευή. Αν SQ<ST,

το πρόβλημα έχει πάντοτε

μοναδική λύση.

∫ot.T. · #5

Θεωρούμε την εξωτερική διχοτόμο SC, οπότε (C,Q,A,B)=-1

Από την στιγμή που η διχοτόμος SQ είναι σταθερή, τότε και η εξωτερική θα είναι σταθερή ευθεία, άρα το C είναι σταθερό σημείο.

Είναι, λοιπόν, γνωστό πως θα ισχύει $OA\cdot OB = OQ^{2}$
Όπου το O είναι το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα S,Q, C.
Άρα το Ο είναι σταθερό σημείο.

Άρα $(OT-AT)(OT+BT) = OQ^{2}$
$k^{2} = OT^{2} - OQ^{2}$ (1)
Όπου $k = \frac{AB}{2} = AT = BT$

Από την (1) προκύπτει ότι το k είναι σταθερό, άρα τα Α, Β απέχουν σταθερή απόσταση από το Τ.
Οπότε τα Α, Β είναι μοναδικά.

*Επανήλθα σ' αυτήν την πρόταση, διότι βασισμένη σε αυτήν είναι η ανάρτησή μου «Μόνο ίσοι κύκλοι», στην οποία δεν έχει αναρτηθεί ακόμα λύση και θα ήθελα να δω διαφορετικές απ' την δική μου προσέγγιση, όπως έγινε εδώ. Ευχαριστώ για την ποικιλία των λύσεων.

Υπάρχουν άλλα;

Υπάρχουν άλλα;

Re: Υπάρχουν άλλα;

Re: Υπάρχουν άλλα;

Re: Υπάρχουν άλλα;

Re: Υπάρχουν άλλα;

Μέλη σε σύνδεση