Τρία τετράγωνα

#1

Την ανεβάζω σε αυτό τον φάκελο για να επιτρέπονται τα πάντα. Την είδα κάπου αλλά δεν θυμάμαι που. Ελπίζω να μη την έχουμε δει.

Έστω τετράγωνο $\rm{AB\Gamma \Delta}$ . Γωνία $45^{\circ }$ με κορυφή το $\rm{A}$ περιέχεται στην $\widehat{BA\Delta }$ και οι πλευρές της τέμνουν την διαγώνιο $\rm{B\Delta}$ στα $\rm{X, Y}$ ( $\rm{ Y}$ μεταξύ $\rm{X, \Delta}$ ). Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του τετραγώνου με διαγώνιο $\rm{X Y}$ είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με διαγωνίους τις $\rm{BX}$ , $\rm{Y\Delta}$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Έστω

η κάτω αριστερή κορυφή του κόκκινου τετραγώνου. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AXY

θα έχει κέντρο το

και επομένως AK=YK

. Έστω τώρα

η προβολή του

στην

. Τότε από ΠΘ στο AKL

έχουμε το ζητούμενο.

Ιστοσελίδα · #3

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 18, 2023 11:36 pm
Την ανεβάζω σε αυτό τον φάκελο για να επιτρέπονται τα πάντα. Την είδα κάπου αλλά δεν θυμάμαι που. Ελπίζω να μη την έχουμε δει.

Έστω τετράγωνο $\rm{AB\Gamma \Delta}$ . Γωνία $45^{\circ }$ με κορυφή το $\rm{A}$ περιέχεται στην $\widehat{BA\Delta }$ και οι πλευρές της τέμνουν την διαγώνιο $\rm{B\Delta}$ στα $\rm{X, Y}$ ( $\rm{ Y}$ μεταξύ $\rm{X, \Delta}$ ). Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του τετραγώνου με διαγώνιο $\rm{X Y}$ είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με διαγωνίους τις $\rm{BX}$ , $\rm{Y\Delta}$ .

: shape.png (32.98 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

Αρκεί να δείξουμε ότι οι διαγώνιες των τετραγώνων αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα.

Στρέφουμε το $\triangleleft ABX$ κατά ${90^ \circ }$ αριστερά από το σημείο $A\,( \triangleleft A\Delta E)$ .

Το $\triangleleft \Delta EY$ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την

, η οποία είναι ίση με την

από την ισότητα των $\triangleleft AEY,\, \triangleleft AXY\,(\Pi - \Gamma - \Pi )$ και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Pla.pa.s · #4

#5

Θέτοντας $A=(0,0), B=(1,0), \Gamma=(1,1), \Delta=(0,1), X=(x,1-x), Y=(y,1-y)$ και εφαρμόζοντας Νόμο Συνημιτόνων στο AXY

καταλήγουμε, ύστερα από ύψωση στο τετράγωνο, στην δευτεροβάθμια

$4(x^2-x)y^2-2(2x^2-4x+1)y-(2x-1)=0\rightarrow y=\dfrac{(2x^2-4x+1)\pm(2x^2-2x+1)}{4(x^2-x)}.$

Από την γεωμετρία -- ή ακόμη και γεωγραφία -- του προβλήματος έχουμε y<x,

οπότε επιλέγουμε υποχρεωτικά το

καταλήγοντας στην $y=1-\dfrac{1}{2x}.$

Η ζητούμενη $XY^2=BX^2+\Delta Y^2$ είναι ισοδύναμη προς την 2(x-y)^2=2(x-1)^2+2y^2,

η οποία είναι άμεση από την παραπάνω $y=1-\dfrac{1}{2x}.$

#6

Γεια σας. Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις σας.

Παραθέτω τρεις προσεγγίσεις που είχα ετοιμάσει. Όπως είναι φυσικό παρουσιάζουν ομοιότητες κα επικαλύψεις με άλλες που έχουν δοθεί. Η δεύτερη μοιάζει με μια που έδωσε στο fb ο συνάδελφος Γιάννης Πλατάρος ενώ η τρίτη με αυτή που έδωσε ο Γιώργος Μπαλόγλου πιο πάνω.

Α) Με συνθετική γεωμετρία.
Δίνω μόνο τα σχήματα μιας και οι αιτιολογήσεις είναι άμεσες. Η ισότητα των δύο εμβαδών στο τελευταίο στιγμιότυπο προκύπτει από το εγγράψιμμο ΑΧΥΖ

.

: Squares a.png (581.6 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

B) Με τριγωνομετρία.
Με $\tant=s$ και $\lambda$ το μισό της διαγωνίου θέλουμε
$\left( \lambda s+\lambda \frac{1-s}{1+s}\right) ^{2}=\left( \lambda -\lambda s\right) ^{2}+\left( \lambda -\lambda \frac{1-s}{1+s}\right) ^{2}$
ή ισοδύναμα ότι
$\left( s+\frac{1-s}{1+s}\right) ^{2}=\left( 1-s\right) ^{2}+\left( 1-\frac{1-s}{1+s}\right) ^{2}$
που η επαλήθευση της είναι άμεση.

: Squares b.png (95.21 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

Γ) Με αναλυτική γεωμετρία.
Μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι το αρχικό τετράγωνο έχει πλευρά

οπότε αποδίδοντας συντεταγμένες στις κορυφές του και στα

,

έχουμε το σχήμα

: Squares c.jpg (104.84 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

Αν ονομάσουμε m_1

,

τους συντελεστές διευθύνσεως των

,

έχουμε $m_{1}=\frac{1-x}{x},m_{2}=\frac{1-y}{y}$ και αφού $\widehat{XAY}=45^{\circ }$ είναι
$\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}=1$ .
Αντικαθιστώντας στην τελευταία και λύνονας ως προς

βρίσκουμε
$y=1-\frac{1}{2x}$
Είναι
$XY^{2}=2\left( x-y\right) ^{2},\,\,\,\,BX^{2}=2\left( x-1\right) ^{2},\,\,\,Y\Delta ^{2}=2y^{2}$
και θέλουμε
$XY^{2}=BX^{2}+Y\Delta ^{2}$
που επαληθεύεται άμεσα με αντικατάσταση των

και $y=1-\frac{1}{2x}$ .

Τρία τετράγωνα

Τρία τετράγωνα

Re: Τρία τετράγωνα

Re: Τρία τετράγωνα

Re: Τρία τετράγωνα

Re: Τρία τετράγωνα

Re: Τρία τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση