Γενίκευση εικασίας

KARKAR · #1

: Γενίκευση εικασίας.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

Στην διάμετρο

ενός ημικυκλίου βρίσκονται τα σταθερά σημεία S , T

. Σημείο

κινείται

στο ημικύκλιο . Εικάζεται ότι η γωνία $\omega$ μεγιστοποιείται , όταν οι $\phi , \theta$ καταστούν ίσες ...

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 9:05 pm
Γενίκευση εικασίας: Στην διάμετρο ενός ημικυκλίου βρίσκονται τα σταθερά σημεία . Σημείο κινείται
στο ημικύκλιο . Εικάζεται ότι η γωνία $\omega$ μεγιστοποιείται , όταν οι $\phi , \theta$ καταστούν ίσες ...

Καταρχάς ας δούμε τον προσδιορισμό του

, ώστε $\angle BAS = \angle TAC.$

Μια Ανάλυση που οδηγεί στη Γεωμετρική Κατασκευή είναι η εξής:

$\displaystyle{AT \cdot T{A_2} = {R^2} - O{T^2},\;AS \cdot S{A_1} = {R^2} - O{S^2},$

$\displaystyle{\frac{{AT}}{{T{A_2}}} = \frac{{AS}}{{S{A_1}}} \Rightarrow \frac{{A{T^2}}}{{{R^2} - O{T^2}}} = \frac{{A{S^2}}}{{{R^2} - O{S^2}}} \Rightarrow \frac{{AT}}{{AS}} = \sqrt {\frac{{{R^2} - O{T^2}}}{{{R^2} - O{S^2}}}} .}}$

Άρα το

προσδιορίζεται ως τομή του αρχικού κύκλου και του Απολλώνιου κύκλου με βάση το τμήμα

και λόγο $\displaystyle{\sqrt {\frac{{{R^2} - O{T^2}}}{{{R^2} - O{S^2}}}} .}$

Τώρα και μετά από τη κατασκευή που προηγήθηκε και στη περίπτωση αυτή ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο AST

εφάπτεται στον αρχικό κύκλο (και είναι εκείνος με την ελάχιστη ακτίνα σε σύγκριση με τις ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα με ίδια βάση και κορυφή τυχόν σημείο του πάνω ημικυκλίου διαφορετικού του

). Προφανώς είναι καθαρό ότι ισχύει $\angle SA''T \leqslant SA'T=\angle SAT.$
Αυτά ως γεγονός θεωρώ ότι απαντούν στην εικασία του Θανάση.

Σημαντική παρατήρηση: Πλέον μπορούμε να κατανοήσουμε (αφού "εμπνευστούμε" από την πρώτη διαδικασία) ότι ο γεωμετρικός προσδιορισμός του

είναι επίσης εφικτός με βάση την Απολλώνια κατασκευή κύκλου διερχόμενου από τα σημεία S, T

και εφαπτόμενου στον δοθέντα κύκλο της διαμέτρου δηλαδή BC.

Μετά ταύτα θα μπορούσαμε να δώσουμε ΚΑΙ την εξής ανεξάρτητη λύση:
Θεωρούμε τον κύκλο που εφάπτεται στον αρχικό και που διέρχεται από τα σημεία S,T

. Αν ονομάσουμε

το σημείο επαφής, τότε οι
κύκλοι αυτοί δέχονται κοινή εφαπτομένη στο

, οπότε από την ισότητα των γωνιών εγγεγραμμένης με την υπό χορδής και εφαπτομένης προκύπτει ${A_1} \equiv AS \cap \left( O \right),\,{A_2} \equiv AT \cap \left( O \right) \Rightarrow \angle TSA = \angle {A_2}{A_1}A \Rightarrow {A_1}{A_2}\parallel ST,$ επομένως $\angle BA{A_1} = \angle {A_2}AC.$
Αν λοιπόν θεωρήσουμε τυχόν σημείο A{''}

σημείο του αρχικού κύκλου και ονομάσουμε

την τομή των SA''

με τον κύκλο (A,S,T)

τότε ισχύει $\angle SA''T \leqslant SA'T=\angle SAT.$

: par.png (78.38 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές

Γενίκευση εικασίας

Γενίκευση εικασίας

Re: Γενίκευση εικασίας

Μέλη σε σύνδεση