Αρχιμήδεια στερεά από Euler
Συντονιστής: gbaloglou
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Αρχιμήδεια στερεά από Euler
Πριν μια εβδομάδα τέθηκε -- αναχρονιστικά -- το θέμα της εύρεσης των Πλατωνικών στερεών από τον τύπο του Euler (έδρες + κορυφές = ακμές + 2). Επιχείρησα επέκταση στα Αρχιμήδεια στερεά ... καταλήγοντας (προς το παρόν και ζητώντας λίγο και την βοήθεια σας) στην παρακάτω 'άπειρη' διοφαντική εξίσωση:
Υποθέτοντας ότι σε κάθε κορυφή του Αρχιμήδειου στερεού συναντώνται τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα, κοκ ... συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των πλευρών του στερεού ισούται προς και ο αριθμός των ακμών του στερεού ισούται προς όπου ο αριθμός των κορυφών του στερεού. Άμεσα ο τύπος του Euler δίνει
Γνωρίζουμε ήδη από τον κατάλογο των Αρχιμήδειων στερεών ότι δεν μπορούμε να πάμε πέρα από τα δεκάγωνα: δεν βλέπω (!) πως θα μπορούσαμε να αποκλείσουμε ενδεκάγωνα κλπ 'εκ των προτέρων', ώστε η παραπάνω διοφαντική εξίσωση να 'περατωθεί', και να έχουμε ακριβώς οκτώ ακέραιες μεταβλητές (). Ακόμη και αν επιτευχθεί αυτό, η προκύπτουσα πεπερασμένη διοφαντική εξίσωση
είναι 'πολλαπλή' ... με την έννοια ότι προκύπτει μία διοφαντική εξίσωση για κάθε έναν από τους 60 διαιρέτες του 5040!
[Δεν είναι πάντως και τόσο τρομερό όσο ακούγεται στην εποχή των ΗΥ (για να μην αναφέρω και την πανταχού παρούσα πλέον ΑΙ) ]
Υποθέτοντας ότι σε κάθε κορυφή του Αρχιμήδειου στερεού συναντώνται τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα, κοκ ... συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των πλευρών του στερεού ισούται προς και ο αριθμός των ακμών του στερεού ισούται προς όπου ο αριθμός των κορυφών του στερεού. Άμεσα ο τύπος του Euler δίνει
Γνωρίζουμε ήδη από τον κατάλογο των Αρχιμήδειων στερεών ότι δεν μπορούμε να πάμε πέρα από τα δεκάγωνα: δεν βλέπω (!) πως θα μπορούσαμε να αποκλείσουμε ενδεκάγωνα κλπ 'εκ των προτέρων', ώστε η παραπάνω διοφαντική εξίσωση να 'περατωθεί', και να έχουμε ακριβώς οκτώ ακέραιες μεταβλητές (). Ακόμη και αν επιτευχθεί αυτό, η προκύπτουσα πεπερασμένη διοφαντική εξίσωση
είναι 'πολλαπλή' ... με την έννοια ότι προκύπτει μία διοφαντική εξίσωση για κάθε έναν από τους 60 διαιρέτες του 5040!
[Δεν είναι πάντως και τόσο τρομερό όσο ακούγεται στην εποχή των ΗΥ (για να μην αναφέρω και την πανταχού παρούσα πλέον ΑΙ) ]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Αρχιμήδεια στερεά από Euler
ΑΚΥΡΟ.
Το σχόλιό μου ήταν εσφαλμένο: Με διόρθωσε ο Γιώργος στο ποστ που ακολουθεί. Τον ευχαριστώ.
Το σχόλιό μου ήταν εσφαλμένο: Με διόρθωσε ο Γιώργος στο ποστ που ακολουθεί. Τον ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Ιαν 30, 2024 9:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Αρχιμήδεια στερεά από Euler
Μιχάλη οι μεταβλητές δεν αφορούν τον συνολικό αριθμό τριγώνων, τετραγώνων, πενταγώνων κλπ του πολυέδρου αλλά, όπως έγραψα και εξ αρχής, τον αριθμό τριγώνων, τετραγώνων, πενταγώνων κλπ που συναντώνται σε κάθε κορυφή του πολυέδρου -- οι αριθμοί αυτοί είναι βεβαίως οι ίδιοι σε κάθε κορυφή επειδή το στερεό είναι Αρχιμήδειο.
Στην περίπτωση της μπάλας ποδοσφαίρου η σωστή εξίσωση είναι
Στην περίπτωση της μπάλας ποδοσφαίρου η σωστή εξίσωση είναι
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες