Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

Συντονιστής: gbaloglou

Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm

Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Κυρ Μάιος 19, 2024 7:57 pm

Δίνεται τρίγωνο \triangle ABC με γνωστές πλευρές a=BC, b=CA, c=AB
και κύκλος ο οποίος διέρχεται από την κορυφή A και το έγκεντρο του τριγώνου \triangle ABC,
τέμνοντας τις πλευρές AB,AC όπως στο σχήμα.

Να υπολογιστεί το τμήμα \color{red}\lambda ως συνάρτηση του τμήματος \color{red}\xi (και των παραμέτρων a,b,c)
Συνημμένα
incenter_ratios.png
incenter_ratios.png (25.05 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές


Ιάσων Κωνσταντόπουλος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5986
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Μάιος 19, 2024 11:21 pm

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2024 7:57 pm
Δίνεται τρίγωνο \triangle ABC με γνωστές πλευρές a=BC, b=CA, c=AB
και κύκλος ο οποίος διέρχεται από την κορυφή A και το έγκεντρο του τριγώνου \triangle ABC,
τέμνοντας τις πλευρές AB,AC όπως στο σχήμα.
Να υπολογιστεί το τμήμα \color{red}\lambda ως συνάρτηση του τμήματος \color{red}\xi (και των παραμέτρων a,b,c)
Αν ονομάσουμε I το έκκεντρο και D, E τις τομές του κύκλου του σχήματος με τις πλευρές AB, AC αντίστοιχα

και θεωρήσουμε τις κάθετες IH, IZ στις πλευρές AB, AC αντίστοιχα, τότε θα έχουμε AH=AZ=\tau - a,

άρα από το θεώρημα του MacLauren παίρνουμε: \displaystyle{\frac{c-\lambda  +b-\xi }{2} =\tau - a,} οπότε \lambda=a-\xi.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13407
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 20, 2024 9:59 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2024 7:57 pm
Δίνεται τρίγωνο \triangle ABC με γνωστές πλευρές a=BC, b=CA, c=AB
και κύκλος ο οποίος διέρχεται από την κορυφή A και το έγκεντρο του τριγώνου \triangle ABC,
τέμνοντας τις πλευρές AB,AC όπως στο σχήμα.

Να υπολογιστεί το τμήμα \color{red}\lambda ως συνάρτηση του τμήματος \color{red}\xi (και των παραμέτρων a,b,c)
O δοσμένος κύκλος τέμνει τις AB, AC στα D, E αντίστοιχα και ο κύκλος (B, \lambda) την BC στο F.
ΙΚΩ.png
ΙΚΩ.png (21.96 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές
Προφανώς τα τρίγωνα BDI, BFI είναι ίσα και λόγω του εγγεγραμμένου ADIE, οι πορτοκαλί γωνίες

είναι ίσες και ID=IE=IF. Άρα και τα τρίγωνα CEI, CFI θα είναι ίσα οπότε \boxed{a = \lambda  + \xi }



Άλλη εκφώνηση: Δύο κύκλοι με κέντρα B, C εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο της πλευράς BC τριγώνου ABC
και τέμνουν τις AB, AC στα D, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου ADE διέρχεται από
το έγκεντρο του ABC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες