Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3407
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Σεπ 09, 2024 12:31 am

Μετά από περιπετειώδη συζήτηση κατέληξα στο εξής θεώρημα, ενδεχομένως ... πρωτοεμφανιζόμενο:

Σε πλήρες τετράπλευρο ABEGDO, όπου A και O οι τομές των BD, GE και BE, GD, η διατέμνουσα OFC, όπου F το μέσον της GE και C η τομή της OF με την BD, έχει την εξής ιδιότητα: για κάθε διατέμνουσα APQR, όπου P τυχόν σημείο επί της BE, R η τομή της AP με την GD, και Q η τομή της APR με την OFC, ισχύει η ισότητα \dfrac{RG}{RD}+\dfrac{PE}{PB}=2\cdot \dfrac{QF}{QC}.

Έχει δηλαδή η υποδιάμεσος OFC -- "υπερδιαγώνιο" την αποκάλεσα προηγουμένως -- μία υπέροχη ιδιότητα μέσου όρου, ο μέσος όρος των \dfrac{RG}{RD} και \dfrac{PE}{PB} είναι πάντοτε ο \dfrac{QF}{QC}: είναι μία ιδιότητα που δεν την ανέμενα και βεβαίως δεν γνώριζα, και ζήτησα/ζητώ από σας μία συνθετική απόδειξη, καθώς η δική μου βασίζεται σε χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας -- ή φυσικά κάποια αναφορά αν έχετε δει αυτό το θεώρημα (ή και κάτι γενικότερο) κάπου.

[Πρόκειται ουσιαστικά για επαναφορά θέματος, μια και κάποιοι/κάποιες από σας πιθανώς χαθήκατε στην περιπετειώδη συζήτηση που λέγαμε και σας διέφυγε το ως άνω θεώρημα ... που τολμώ να αφιερώσω απόψε στην μνήμη του μεγάλου Θεόδωρου Καζαντζή, που μας αποχαιρέτησε πρόωρα πριν 25 ακριβώς χρόνια. (Είμαστε ήδη στις 9/9/24 καθώς γράφω αυτές τις γραμμές, και έτυχε να το(ν) σκεφτώ.) Αν και πάλι δεν προκύψει κάτι ... θ' αρχίσω πάλι να κατεβάζω ΜενελαοΣεβάδες ;) ]


υποδιάμεσος-πλήρους-τετραπλεύρου.png
υποδιάμεσος-πλήρους-τετραπλεύρου.png (22.19 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4728
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Σεπ 09, 2024 3:32 pm

gbaloglou έγραψε:
Δευ Σεπ 09, 2024 12:31 am
Μετά από περιπετειώδη συζήτηση κατέληξα στο εξής θεώρημα, ενδεχομένως ... πρωτοεμφανιζόμενο:

Σε πλήρες τετράπλευρο ABEGDO, όπου A και O οι τομές των BD, GE και BE, GD, η διατέμνουσα OFC, όπου F το μέσον της GE και C η τομή της OF με την BD, έχει την εξής ιδιότητα: για κάθε διατέμνουσα APQR, όπου P τυχόν σημείο επί της BE, R η τομή της AP με την GD, και Q η τομή της APR με την OFC, ισχύει η ισότητα \dfrac{RG}{RD}+\dfrac{PE}{PB}=2\cdot \dfrac{QF}{QC}.

Έχει δηλαδή η υποδιάμεσος OFC -- "υπερδιαγώνιο" την αποκάλεσα προηγουμένως -- μία υπέροχη ιδιότητα μέσου όρου, ο μέσος όρος των \dfrac{RG}{RD} και \dfrac{PE}{PB} είναι πάντοτε ο \dfrac{QF}{QC}: είναι μία ιδιότητα που δεν την ανέμενα και βεβαίως δεν γνώριζα, και ζήτησα/ζητώ από σας μία συνθετική απόδειξη, καθώς η δική μου βασίζεται σε χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας -- ή φυσικά κάποια αναφορά αν έχετε δει αυτό το θεώρημα (ή και κάτι γενικότερο) κάπου.

[Πρόκειται ουσιαστικά για επαναφορά θέματος, μια και κάποιοι/κάποιες από σας πιθανώς χαθήκατε στην περιπετειώδη συζήτηση που λέγαμε και σας διέφυγε το ως άνω θεώρημα ... που τολμώ να αφιερώσω απόψε στην μνήμη του μεγάλου Θεόδωρου Καζαντζή, που μας αποχαιρέτησε πρόωρα πριν 25 ακριβώς χρόνια. (Είμαστε ήδη στις 9/9/24 καθώς γράφω αυτές τις γραμμές, και έτυχε να το(ν) σκεφτώ.) Αν και πάλι δεν προκύψει κάτι ... θ' αρχίσω πάλι να κατεβάζω ΜενελαοΣεβάδες ;) ]



υποδιάμεσος-πλήρους-τετραπλεύρου.png
Καλησπέρα Γιώργο από Βρυξέλλες μεριά :)

Στο σχήμα του Γιώργου

Θα λύσω το πρόβλημα για F εσωτερικό σημείο της EG (γενικότερα)

\bullet Οι δέσμες O.ABCD,A.OGRD τεμνόμενες σχηματίζουν στις ακτίνες τους ίσους διπλούς λόγους, δηλαδή \dfrac{OE}{PE}:\dfrac{OB}{PB}=\dfrac{OF}{QF}:\dfrac{OC}{QC}=\dfrac{OG}{RG}:\dfrac{OD}{RD}\Rightarrow \ldots \dfrac{PE}{PB}=\dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 1 \right) και

\dfrac{OF}{QF}:\dfrac{OC}{QC}=\dfrac{OG}{RG}:\dfrac{OD}{RD}\Rightarrow \ldots \dfrac{RG}{RD}=\dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF}\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 2 \right)

Με πρόσθεση των σχέσεων \left( 1 \right),\left( 2 \right) προκύπτει \dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\left( \dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}+\dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF} \right)\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 3 \right) . Ας είναι γενικότερα \dfrac{EG}{EF}=\ell
\bullet

Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle AGD με διατέμνουσα την OEB θα έχουμε:
\dfrac{EG}{EA}\cdot \dfrac{BA}{BD}\cdot \dfrac{OD}{OG}=1:\left( 4 \right) , ομοίως από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο \vartriangle AFC με διατέμνουσα την OEB θα έχουμε: \dfrac{EF}{EA}\cdot \dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{OC}{OF}=1:\left( 5 \right)

Με διαίρεση των μελών των \left( 4 \right),\left( 5 \right) και με \dfrac{EG}{EF}=\ell έχουμε: \ell \cdot \dfrac{OD}{OC}\cdot \dfrac{OF}{OG}\cdot \dfrac{BC}{BD}=1\Rightarrow \dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF}=\dfrac{BC}{BD}\cdot \ell :\left( 6 \right)

\bullet Με ακριβώς όμοιο τρόπο εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου στα τρίγωνα \vartriangle AGR με διατέμνουσα OEP και \vartriangle AFQ με διατέμνουσα OEP προκύπτει ότι \dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}=\dfrac{CD}{BD}\cdot \ell :\left( 7 \right)

Από \left( 6 \right),\left( 7 \right)\overset{\left( 3 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\left( \dfrac{BC}{BD}\cdot \ell +\dfrac{CD}{BD}\cdot \ell  \right)\cdot \dfrac{QF}{QC}
=\dfrac{BC+CD}{BD}\cdot \dfrac{QF}{QC}\cdot \ell \overset{BC+CD=BD}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\dfrac{QF}{QC}\cdot \ell
\bullet Για την ειδική περίπτωση του Γιώργου θα έχουμε \ell =2 (αφού το F είναι το μέσο της EG ) οπότε \dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=2\dfrac{QF}{QC}

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι αν το F είναι εξωτερικό σημείο της EG και είναι \dfrac{EG}{EF}=\ell τότε ισχύει (αν σκέφτομαι καλά) ότι \left| \dfrac{PE}{PB}-\dfrac{RG}{RD} \right|=\dfrac{QF}{QC}\cdot \ell

Σχόλιο: Δεν γνωρίζω την ύπαρξη αυτού του θεωρήματος (θεωρώ όμως ότι θα είναι γνωστό και πρέπει να ενταχθεί (αν δεν είναι) στα θεωρήματα των διπλών λόγων))

Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3407
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Σεπ 12, 2024 11:16 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Σεπ 09, 2024 3:32 pm
gbaloglou έγραψε:
Δευ Σεπ 09, 2024 12:31 am
Μετά από περιπετειώδη συζήτηση κατέληξα στο εξής θεώρημα, ενδεχομένως ... πρωτοεμφανιζόμενο:

Σε πλήρες τετράπλευρο ABEGDO, όπου A και O οι τομές των BD, GE και BE, GD, η διατέμνουσα OFC, όπου F το μέσον της GE και C η τομή της OF με την BD, έχει την εξής ιδιότητα: για κάθε διατέμνουσα APQR, όπου P τυχόν σημείο επί της BE, R η τομή της AP με την GD, και Q η τομή της APR με την OFC, ισχύει η ισότητα \dfrac{RG}{RD}+\dfrac{PE}{PB}=2\cdot \dfrac{QF}{QC}.

Έχει δηλαδή η υποδιάμεσος OFC -- "υπερδιαγώνιο" την αποκάλεσα προηγουμένως -- μία υπέροχη ιδιότητα μέσου όρου, ο μέσος όρος των \dfrac{RG}{RD} και \dfrac{PE}{PB} είναι πάντοτε ο \dfrac{QF}{QC}: είναι μία ιδιότητα που δεν την ανέμενα και βεβαίως δεν γνώριζα, και ζήτησα/ζητώ από σας μία συνθετική απόδειξη, καθώς η δική μου βασίζεται σε χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας -- ή φυσικά κάποια αναφορά αν έχετε δει αυτό το θεώρημα (ή και κάτι γενικότερο) κάπου.

[Πρόκειται ουσιαστικά για επαναφορά θέματος, μια και κάποιοι/κάποιες από σας πιθανώς χαθήκατε στην περιπετειώδη συζήτηση που λέγαμε και σας διέφυγε το ως άνω θεώρημα ... που τολμώ να αφιερώσω απόψε στην μνήμη του μεγάλου Θεόδωρου Καζαντζή, που μας αποχαιρέτησε πρόωρα πριν 25 ακριβώς χρόνια. (Είμαστε ήδη στις 9/9/24 καθώς γράφω αυτές τις γραμμές, και έτυχε να το(ν) σκεφτώ.) Αν και πάλι δεν προκύψει κάτι ... θ' αρχίσω πάλι να κατεβάζω ΜενελαοΣεβάδες ;) ]



υποδιάμεσος-πλήρους-τετραπλεύρου.png
Καλησπέρα Γιώργο από Βρυξέλλες μεριά :)

Στο σχήμα του Γιώργου

Θα λύσω το πρόβλημα για F εσωτερικό σημείο της EG (γενικότερα)

\bullet Οι δέσμες O.ABCD,A.OGRD τεμνόμενες σχηματίζουν στις ακτίνες τους ίσους διπλούς λόγους, δηλαδή \dfrac{OE}{PE}:\dfrac{OB}{PB}=\dfrac{OF}{QF}:\dfrac{OC}{QC}=\dfrac{OG}{RG}:\dfrac{OD}{RD}\Rightarrow \ldots \dfrac{PE}{PB}=\dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 1 \right) και

\dfrac{OF}{QF}:\dfrac{OC}{QC}=\dfrac{OG}{RG}:\dfrac{OD}{RD}\Rightarrow \ldots \dfrac{RG}{RD}=\dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF}\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 2 \right)

Με πρόσθεση των σχέσεων \left( 1 \right),\left( 2 \right) προκύπτει \dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\left( \dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}+\dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF} \right)\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 3 \right) . Ας είναι γενικότερα \dfrac{EG}{EF}=\ell
\bullet

Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle AGD με διατέμνουσα την OEB θα έχουμε:
\dfrac{EG}{EA}\cdot \dfrac{BA}{BD}\cdot \dfrac{OD}{OG}=1:\left( 4 \right) , ομοίως από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο \vartriangle AFC με διατέμνουσα την OEB θα έχουμε: \dfrac{EF}{EA}\cdot \dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{OC}{OF}=1:\left( 5 \right)

Με διαίρεση των μελών των \left( 4 \right),\left( 5 \right) και με \dfrac{EG}{EF}=\ell έχουμε: \ell \cdot \dfrac{OD}{OC}\cdot \dfrac{OF}{OG}\cdot \dfrac{BC}{BD}=1\Rightarrow \dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF}=\dfrac{BC}{BD}\cdot \ell :\left( 6 \right)

\bullet Με ακριβώς όμοιο τρόπο εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου στα τρίγωνα \vartriangle AGR με διατέμνουσα OEP και \vartriangle AFQ με διατέμνουσα OEP προκύπτει ότι \dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}=\dfrac{CD}{BD}\cdot \ell :\left( 7 \right)

Από \left( 6 \right),\left( 7 \right)\overset{\left( 3 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\left( \dfrac{BC}{BD}\cdot \ell +\dfrac{CD}{BD}\cdot \ell  \right)\cdot \dfrac{QF}{QC}
=\dfrac{BC+CD}{BD}\cdot \dfrac{QF}{QC}\cdot \ell \overset{BC+CD=BD}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\dfrac{QF}{QC}\cdot \ell
\bullet Για την ειδική περίπτωση του Γιώργου θα έχουμε \ell =2 (αφού το F είναι το μέσο της EG ) οπότε \dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=2\dfrac{QF}{QC}

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι αν το F είναι εξωτερικό σημείο της EG και είναι \dfrac{EG}{EF}=\ell τότε ισχύει (αν σκέφτομαι καλά) ότι \left| \dfrac{PE}{PB}-\dfrac{RG}{RD} \right|=\dfrac{QF}{QC}\cdot \ell

Σχόλιο: Δεν γνωρίζω την ύπαρξη αυτού του θεωρήματος (θεωρώ όμως ότι θα είναι γνωστό και πρέπει να ενταχθεί (αν δεν είναι) στα θεωρήματα των διπλών λόγων))

Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης Κούτρας
Στάθη είμαι ευγνώμων και για την απόδειξη και για την γενίκευση! Όσον αφορά την τελευταία, παρατηρώ ότι το \ell στην \dfrac{EG}{EF}=\ell πρέπει να είναι προσημασμένο για να δηλώνει προσανατολισμό (θετικό αν τα G, F βρίσκονται αμφότερα στα δεξιά του E, αρνητικό αλλιώς), ενώ ο σωστός τύπος πιστεύω πως είναι

\displaystyle \left|\dfrac{1}{\ell}\cdot\dfrac{RG}{RD}+\left(1-\dfrac{1}{\ell}\right)\cdot\dfrac{PE}{PB}\right|=\dfrac{QF}{QC}

Τον τύπο αυτόν επαληθεύουν -- 'προσεγγιστικώς' -- τα παραδείγματα υποτεμνουσών OFC και υπερτεμνουσών OCF που παραθέτω στο συνημμένο. (Ναι, μπορεί να προκύψει και αρνητική ποσότητα εντός της απολύτου τιμής ... εκτός του συνημένου όμως ;) ) Προκύπτει από τους τύπους που παρέθεσα προ μηνός, συν τους ευνόητους f=tg+(1-t)e (όπου f, g, e οι τετμημένες των F, G, E) και m=\dfrac{(vg-ue)f+ge(u-v)}{(g-e)f} (συντελεστης διεύθυνσης της OF).


υποτέμνουσες-υπερτέμνουσες.png
υποτέμνουσες-υπερτέμνουσες.png (54.04 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες