Γενικεύοντας ... Αρχιμήδη

#1

Με αφορμή παλιές και καινούργιες συζητήσεις εδώ και εδώ ... προτείνω την εξής 'ανοικτή παραλλαγή':

Να βρεθούν η ακτίνα και το κέντρο του 'δισεφαπτόμενου' κόκκινου κύκλου, θεωρώντας γνωστά τα κέντρα και τις ακτίνες των μαύρων κύκλων και τα σημεία επαφής τους με τον κόκκινο κύκλο.

: γενίκευση-Θεωρήματος-Αρχιμήδη.png (6.25 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές

KARKAR · #2

: Αρχιμήδης.png (31.28 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές

Νομίζω ότι το σημείο

αρκεί (το

προκύπτει αυτόματα ) . Θα χρησιμοποιήσω την τετμημένη

του σημείου

.

Οι κύκλοι είναι οι (O,R) , (K,r)

και αναζητώ τον (Q, x)

. Από θεώρημα συνημιτόνου στο QKO

, έχουμε :

$(x+r)^2=(R-x)^2+(R-r)^2+\dfrac{2a}{R}(R-r)(R-x)$ , άρα : $x=\dfrac{R(R+a)(R-r)}{a(R-r)+R(R+r)}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 05, 2024 10:31 am
Αρχιμήδης.pngΝομίζω ότι το σημείο αρκεί (το προκύπτει αυτόματα ) . Θα χρησιμοποιήσω την τετμημένη του σημείου .

Οι κύκλοι είναι οι και αναζητώ τον . Από θεώρημα συνημιτόνου στο , έχουμε :

$(x+r)^2=(R-x)^2+(R-r)^2+\dfrac{2a}{R}(R-r)(R-x)$ , άρα : $x=\dfrac{R(R+a)(R-r)}{a(R-r)+R(R+r)}$ .

Βεβαίως η λέξη-κλειδί στα παραπάνω είναι το "αυτόματα": πράγματι το ένα σημείο επαφής καθορίζει το άλλο, ακριβέστερα αν $A=\left(a, \sqrt{R^2-a^2}\right)$ και $S=\left(s,\sqrt{2Rr-R^2-2(R-r)s-s^2}\right)$ ισχύει τότε η

$\dfrac{R(R+a)}{a(R-r)+R(R+r)}=\dfrac{r(R+s)}{3Rr-R^2-(R-r)s}.$

Κάτι τέτοιο ήταν βεβαίως γεωμετρικώς αναμενόμενο και προκύπτει από τον παραπάνω τύπο που έδωσε ο Θανάσης για την ακτίνα

του κόκκινου κύκλου μαζί με τον τύπο

$x=\dfrac{r(R+s)(R-r)}{3Rr-R^2-(R-r)s}$

που προκύπτει με παρόμοιο τρόπο, από Νόμο Συνημιτόνων στο τρίγωνο QKO

και πάλι, μέσω της

$(R-x)^2=(R-r)^2+(r+x)^2-2\dfrac{(R-r+s)}{r}(R-r)(r+x).$

Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα επαλήθευσης των ανωτέρω προκύπτει από το αρχικό πρόβλημα του Θανάση εδώ (και όσα (δι)έπραξα εκεί), με $s=\dfrac{9}{7}-2=-\dfrac{5}{7}$ και $a=\dfrac{33}{19}-2=-\dfrac{5}{19}.$ (Αφαιρούμε το

λόγω της διαφοράς συστήματος συντεταγμένων εκεί και εδώ.)

Γενικεύοντας ... Αρχιμήδη

Γενικεύοντας ... Αρχιμήδη

Re: Γενικεύοντας ... Αρχιμήδη

Re: Γενικεύοντας ... Αρχιμήδη

Μέλη σε σύνδεση