Ω ! μελέτες

KARKAR · #1

: Ω ! μελέτες.png (6.33 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

α) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου με πλευρές 3,4,5,6

β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου με πλευρές 3,4,5,6

γ) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου με πλευρές 3,4,5,x, (0<x<12)

Μας ενδιαφέρει η εύρεση των εμβαδών των τετραπλεύρων και όχι τόσο η κατασκευή τους

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 26, 2026 7:06 am Ω ! μελέτες.pngα) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου με πλευρές

β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου με πλευρές

γ) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου με πλευρές
Μας ενδιαφέρει η εύρεση των εμβαδών των τετραπλεύρων και όχι τόσο η κατασκευή τους

α) Το μοναδικό τραπέζιο με αυτά τα μήκη πλευρών είναι εκείνο με βάσεις 3, 6.

Προφανώς, δεν μπορούμε

να μιλάμε για μέγιστο εμβαδόν. Έχουμε ένα και μοναδικό ορθογώνιο τραπέζιο με εμβαδόν 18.

β) Σε κάθε τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές a, b,c,d

και διαγώνιες p,q

είναι

$\displaystyle{E = \frac{1}{4}\sqrt {4{p^2}{q^2} - {{({a^2} - {b^2} + {c^2} - {d^2})}^2}} },$ τύπος του $\rm Bretschneider.$

Στην περίπτωσή μας $\displaystyle (ABCD) = \frac{1}{4}\sqrt {4{p^2}{q^2} - 324} = \frac{1}{2}\sqrt {{p^2}{q^2} - 81}.$ Αλλά, από την ανισότητα

του Πτολεμαίου, $\displaystyle pq \leqslant 39,$ οπότε $\boxed{{(ABCD)_{\max }} = 6\sqrt {10} }$ όταν το τετράπλευρο καταστεί εγγράψιμο.

γ) Η τέταρτη πλευρά είναι η διάμετρος του ημικυκλίου. Αποδεικνύεται ότι $AD\simeq 8,0558$ και το μέγιστο

εμβαδόν κατά προσέγγιση 20,49521.

: Μελέτες..png (11.52 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

KARKAR · #3

Γιώργο , να είσαι καλά . Μόνο ένα σχόλιο : Στο ερώτημα β) δεν είναι απαραίτητο οι πλευρές a,b,c,d

να είναι

διαδοχικές . Επίσης , αφού γνωρίζουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο , ευκολότερος νομίζω είναι ο τύπος :

$E=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ . Μια σχετική ανάρτηση εδώ .

Για το γ) ένας υπολογισμός του

:

: Πτολεμαίος.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές

Ω ! μελέτες

Ω ! μελέτες

Re: Ω ! μελέτες

Re: Ω ! μελέτες

Μέλη σε σύνδεση