Εξίσωση με ισοτιμία
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Εξίσωση με ισοτιμία
Αποδείξτε ότι το πλήθος των λύσεων της ισοτιμίας
με , και περιττός πρώτο, είναι άρτιος αριθμός αν και μόνο αν .
με , και περιττός πρώτο, είναι άρτιος αριθμός αν και μόνο αν .
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εξίσωση με ισοτιμία
Θα δείξω ότι το πλήθος των λύσεων της είναι άρτιο για κάθε περιττό πρώτο .
Έστω και
Τότε η συνάρτηση με είναι ένα προς ένα και επί.
Άρα .
Επίσης, είναι εύκολο να δούμε ότι αν είναι λύση τότε είναι επίσης λύση της ισοτιμίας με ώστε , οπότε αν υπάρχει λύση της παραπάνω ισοτιμίας με με τότε υπάρχουν υπάρχουν ακριβώς δύο τέτοιες.
Παίρνουμε περιπτώσεις.
Αν δεν υπάρχει ώστε το να είναι λύση τότε το πλήθος είναι , οπότε ο είναι άρτιος.
Αν υπάρχει ώστε το να είναι λύση τότε , οπότε πάλι ο είναι άρτιος και το συμπέρασμα έπεται.
Έστω και
Τότε η συνάρτηση με είναι ένα προς ένα και επί.
Άρα .
Επίσης, είναι εύκολο να δούμε ότι αν είναι λύση τότε είναι επίσης λύση της ισοτιμίας με ώστε , οπότε αν υπάρχει λύση της παραπάνω ισοτιμίας με με τότε υπάρχουν υπάρχουν ακριβώς δύο τέτοιες.
Παίρνουμε περιπτώσεις.
Αν δεν υπάρχει ώστε το να είναι λύση τότε το πλήθος είναι , οπότε ο είναι άρτιος.
Αν υπάρχει ώστε το να είναι λύση τότε , οπότε πάλι ο είναι άρτιος και το συμπέρασμα έπεται.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες