Άθροισμα ειδικών συναρτήσεων

Tolaso J Kos · #1

Για θετικό ακέραιο

να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\displaystyle{\sum_{a \mid n} \varphi(a) \log a + \sum_{a \mid n} \sum_{b \mid \frac{n}{a}} \varphi(a) \Lambda (b)}$
όπου $\varphi$ η συνάρτηση του Euler και $\Lambda$ η συνάρτηση von Mangoldt.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #3

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{a \mid n} \varphi(a) \log a + \sum_{a \mid n} \sum_{b \mid \frac{n}{a}} \varphi(a) \Lambda (b) &= \sum_{a \mid n} \varphi(a) \log a +\sum_{a \mid n} \varphi(a) \sum_{b \mid \frac{n}{a}} \Lambda(b) \\ &= \sum_{a \mid n} \varphi(a) \log a + \sum_{a \mid n} \varphi (a) \log \frac{n}{a} \\ &= \sum_{a \mid n} \varphi(a) \left ( \log a + \log \frac{n}{a} \right ) \\ &= \log n \sum_{a \mid n} \varphi(a) \\ &= n \log n \end{aligned}}$

Άθροισμα ειδικών συναρτήσεων

Άθροισμα ειδικών συναρτήσεων

Re: Άθροισμα ειδικών συναρτήσεων

Re: Άθροισμα ειδικών συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση