Ασκηση εξετάσεων

xmaze · #1

Καλημέρα,

πριν κάνα 2 βδομάδες στις εξετάσεις έπεσε η εξής άσκηση:
να αποδέιξετε ότι 35 το διαιρεί ( $38^{12}-34^4$ )

και έκανα το εξής μκδ(35,38)=μκδ(35,34) =1 οπόπτε παίρνω την πρόταση του Όυλερ.
φ(35) = φ(5*7)=φ(5)φ(7) λόγω 5,7 πρώτοι, οπότε = 4*6 = 24 = φ(35)
Σύμφωνα με τον Όυλερ $a^{φ(p)} mod p = 1$
οπότε $38^{12} = (38^{24})^{1/2}$ και $34^4 = (34^{24})^{1/6}$ σύμφωνα με τον όυλερ έχουμε $(1)^{1/2}$ και $(1)^{1/6}$ δηλαδή 1 και 1,
οπότε 1-1 = 0 άρα το 35 διαιρεί το ( $38^{12}-34^4$ )

Αλλά κόπηκα στο μάθημα

και απο τον βαθμό μου βγαίνει ότι αυτήν την άσκηση την μηδένισε, αλλά δεν μπορώ ακόμη να καταλάβω τι λάθος έκανα.

#2

xmaze έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 19, 2023 10:59 am

οπότε $38^{12} = (38^{24})^{1/2}$ ...

Αλλά κόπηκα στο μάθημα και απο τον βαθμό μου βγαίνει ότι αυτήν την άσκηση την μηδένισε, αλλά δεν μπορώ ακόμη να καταλάβω τι λάθος έκανα.

Κατά την γνώμη μου σωστά βαθμολογήθηκε με μηδέν η άσκηση. Το σφάλμα που έχεις είναι αρκετά βαρύ γιατί παίρνεις τετραγωνικές ρίζες όταν τα Θεωρήματα που επικαλείσαι αφορούν ακεραίους (βλέπε παρακάτω).

Επί του προκειμένου: Φαίνεται να νομίζεις (το χρησιμοποιείς στην απόδειξη) ότι αν $a\equiv b \mod m$ τότε $\sqrt a \equiv \sqrt b \mod m$ . Αυτό γενικά δεν έχει καν νόημα αλλά ούτως ή άλλως δεν ισχύει ακόμη και αν τα $\sqrt a, \, \sqrt b$ είναι φυσικοί αριθμοί. Για παράδειγμα

$25 \equiv 16 \mod 3$ αλλά δεν ισχύει ότι $5 \equiv 4 \mod 3$ .

xmaze · #3

Δεν παίρνω ρίζα, διπλασιάζω τον εκθέτη και τον ξανά διαιρώ με το 2, $38^{12} = (38^{24})^{1/2}$
είναι ο ίδιος αριθμός, δεν παίρνω καμία ρίζα.

25 mod 3 κάνει 1 και όχι 16.

#4

xmaze έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 12:41 am
Δεν παίρνω ρίζα, διπλασιάζω τον εκθέτη και τον ξανά διαιρώ με το 2, $38^{12} = (38^{24})^{1/2}$
είναι ο ίδιος αριθμός, δεν παίρνω καμία ρίζα.

Παίρνεις ρίζα στο βήμα εδώ, μετά την λέξη "σύμφωνα"

xmaze έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 19, 2023 10:59 am

οπότε $38^{12} = (38^{24})^{1/2}$ και $34^4 = (34^{24})^{1/6}$ σύμφωνα με τον όυλερ έχουμε $(1)^{1/2}$ και $(1)^{1/6}$

xmaze έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 12:41 am
25 mod 3 κάνει 1 και όχι 16.

Αν νομίζεις ότι δεν ισχύει $25\equiv 16 \mod 3$ τότε έχεις ουσιαστικά κενά στο μάθημα. Δεν φαίνεται να έχεις κατανοήσει τι θα πει ισοδυναμία με μόντουλο.

Με λίγα λόγια $a\equiv b \mod m$ σημαίνει ότι ο

διαιρεί την διαφορά a-b

. Για παράδειγμα αφού το

διαιρεί την διαφορά 25-16=9,

σημαίνει ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ $25\equiv 16 \mod 3$ .

Παρακαλώ δες το βιβλίο του μαθήματος γιατί, τουλάχιστον στο εν λόγω θέμα, μάλλον έχεις παρανοήσει κεντρικά στοιχεία της θεωρίας.

Τσιαλας Νικολαος · #5

Καλησπέρα! Όπως είπε ο κύριος Μιχάλης το να "ριζώσεις" είναι το πρόβλημα! Γιατί δεν δοκίμασες απλά με mod35

;

#6

Θα μπορούσε κάποιος να λύσει το θέμα ακόμα και χωρίς ισοτιμίες.

Για να δείξουμε ότι ο αριθμός μας διαιρείται με το $\displaystyle{35}$ , αρκεί να δείξουμε ότι διαιρείται με το $\displaystyle{5}$ και το $\displaystyle{7}$
(διότι οι αριθμοί $\displaystyle{5}$ και $\displaystyle{7}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους)

ΔΕΙΧΝΟΥΜΕ ΠΡΩΤΑ ότι διαιρείται με το $\displaystyle{5}$

Ο $\displaystyle{38^{12}}$ λήγει εκεί που λήγει και ο $\displaystyle{8^{12}}$ . Αλλά $\displaystyle{8^{12}=(8^4 )^3}$ . O $\displaystyle{8^4}$ λήγει σε $\displaystyle{6}$ . Άρα οποιαδήποτε δύναμη με βάση αυτόν

τον αριθμό θα λήγει επίσης σε $\displaystyle{6}$ . Συνεπώς ο $\displaystyle{(8^4)^3}$ λήγει σε $\displaystyle{6}$ . Δηλαδή ο $\displaystyle{8^{12}}$ λήγει σε $\displaystyle{6}$ άρα σε $\displaystyle{6}$ λήγει και ο

$\displaystyle{38^{12}}$ .

Στη συνέχεια, ο αριθμός $\displaystyle{34^4}$ , λήγει εκεί που λήγει και ο $\displaystyle{4^4}$ , δηλαδή σε $\displaystyle{6}$ .

Άρα η διαφορά: $\displaystyle{38^{12}-34^{4}}$ λήγει σε μηδέν και άρα ο αριθμός αυτός διαιρείται με το $\displaystyle{5}$

ΔΕΙΧΝΟΥΜΕ ΤΩΡΑ ότι διαιρείται και με το $\displaystyle{7}$

$\displaystyle{38^{12}-34^4 =(38^3)^4 - 34^4 =(38^3 -34). k}$ , όπου ο $\displaystyle{k}$ είναι ακέραιος.

Άρα $\displaystyle{38^{12}-34^4 =(54872-34)k =54838.k=7.7834.k=}$ πολ $\displaystyle{7}$ .

*********************************************************************************
Με το ίδιο σκεπτικό, με ισοτιμίες, μπορούσαμε και ως εξής:

$\displaystyle{38=3mod5\Rightarrow 38^2 = 9mod5=4mod5\Rightarrow (38^2)^2 = 16mod5 = 1mod5\Rightarrow 38^4 =1mod5\Rightarrow}$

$\displaystyle{(38^4)^3 =1mod5 \Rightarrow 38^{12}=1mod5}$

Επίσης:

$\displaystyle{34=-1mod5\Rightarrow 34^4 =1mod5}$ .

Άρα $\displaystyle{38^{12}-34^4 =0mod5}$ , (1)

Στη συνέχεια:

$\displaystyle{38=3mod7\Rightarrow 38^2 =2mod7\Rightarrow (38^2 )^2 =4mod7\Rightarrow 38^4 = 4mod7}$

Άρα:

$\displaystyle{38^6 =38^4 . 38^2 =8mod7 =1mod7\Rightarrow (38^6)^2 =1mod7\Rightarrow 38^{12}=1mod7}$

Και:

$\displaystyle{34=-1mod7 \Rightarrow 34^4 =1mod7}$

Άρα:

$\displaystyle{38^{12}-34^4 =0mod7}$ , (2)

Από (1), (2) έπεται το ζητούμενο.

Ασκηση εξετάσεων

Ασκηση εξετάσεων

Re: Ασκηση εξετάσεων

Re: Ασκηση εξετάσεων

Re: Ασκηση εξετάσεων

Re: Ασκηση εξετάσεων

Re: Ασκηση εξετάσεων

Μέλη σε σύνδεση