Άθροισμα ακεραίων

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{\gcd(n,k)}}$ .

Dimessi · #2

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{\gcd\left ( n,k \right )}=\sum_{k=1}^{\prod_{j=1}^{m}p_{j}^{a_{j}}}\left(\frac{1}{\gcd \left ( n,k \right )}\prod_{j=1}^{m}p_{j}^{a_{j}}\right)=\sum_{d|n}^{}d\phi \left ( d \right )=\prod_{1\leqslant j\leqslant m}^{}\frac{p_{j}^{2a_{j}+1}+1}{p_{j}+1},$ λόγω της πολλαπλασιαστικής συνάρτησης.

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 22, 2025 6:56 pm
Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{\gcd(n,k)}}$ .

Έστω $\mathcal{G}$ κυκλική ομάδα τάξης

και $\mathcal{G} = \langle g \rangle$ . Τότε, $\displaystyle{\mathrm{ord}(g^k) = \frac{n}{\gcd(n,k)}}$ . Συνεπώς,
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{\gcd(n,k)} & = \sum_{k=1}^{n} \mathrm{ord} (g^k) \\ & = \sum_{d \mid n} \sum_{x \in \mathcal{G} | \mathrm{ord}(x) = d} d \\ & = \sum_{d \mid n} d \; \varphi(d) \end{aligned}}$
Το τελευταίο άθροισμα είναι γνωστό.

Άθροισμα ακεραίων

Άθροισμα ακεραίων

Re: Άθροισμα ακεραίων

Re: Άθροισμα ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση