Τύπος για πρώτους αριθμούς

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Τύπος για πρώτους αριθμούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Οκτ 06, 2011 1:03 am

Αν p_n o n-οστός πρώτος αριθμός να δειχθεί ότι

\displaystyle{ p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n} \left\lfloor \left\lfloor \frac{n}{\sum_{r=1}^m \left\lfloor \cos^2 \left( \frac{(r-1)! + 1}{r} \pi\right)\right\rfloor } \right\rfloor^{1/n} \right\rfloor}

Θα δώσω την πηγή μετά την λύση.

Επεξεργασία: Συγνώμη υπήρχαν κάποια λάθη. Νομίζω τώρα είναι σωστό.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Πέμ Οκτ 06, 2011 1:12 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τύπος για πρώτους αριθμούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 06, 2011 1:11 am

Ωραίος.

Τον συγκεκριμένο πρώτη φορά τον βλέπω. Υπάρχουν διάφοροι άλλοι γνωστοί τύποι που δίνουν τον p_n.
Ο Αλέξανδρος ο Συγκελάκης είχε σταχυολογήσει αρκετούς σε μία ομιλία του σε συνέδριο της Ε.Μ.Ε. Ο ίδιος θα μας διαφωτίσει ακριβέστερα.

Μ.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Τύπος για πρώτους αριθμούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 24, 2016 3:12 pm

Ενδιαφέρον . Επαναφορά .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τύπος για πρώτους αριθμούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 24, 2016 8:36 pm

Demetres έγραψε:Αν p_n o n-οστός πρώτος αριθμός να δειχθεί ότι

\displaystyle{ p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n} \left\lfloor \left\lfloor \frac{n}{\sum_{r=1}^m \left\lfloor \cos^2 \left( \frac{(r-1)! + 1}{r} \pi\right)\right\rfloor } \right\rfloor^{1/n} \right\rfloor}
Υποθέτω ότι το δεύτερο \lfloor ... \rfloor είναι τυπογραφικό σφάλμα και στην θέση του πρέπει να μπει παρένθεση. Δηλαδή ο τύπος είναι

\displaystyle{ p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n} \left\lfloor \left ( \frac{n}{\sum_{r=1}^m \left\lfloor \cos^2 \left( \frac{(r-1)! + 1}{r} \pi\right)\right\rfloor } \right )^{1/n} \right\rfloor}

Με αυτό ως δεδομένο, τα κύρια βήματα:

Η ποσότητα \displaystyle{\left\lfloor \cos^2 \left( \frac{(r-1)! + 1}{r} \pi\right)\right\rfloor } } είναι 0 ή 1

και ειδικά είναι 1 αν και μόνον αν \displaystyle{ \frac{(r-1)! + 1}{r} = k \in \mathbb N}.

Αυτό συμβαίνει αν και μόνον αν \displaystyle{ (r-1)! + 1= kr} ή αλλιώς \displaystyle{ (r-1)! =-1 \mod r}, που από το θεώρημα Wilson συμβαίνει αν και μόνον αν o r είναι πρώτος ή r=1.

Αν συμβολίσουμε με \pi (m) το πλήθος των πρώτων μέχρι τον m, το αποδεικτέο γράφεται

\displaystyle{ p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n} \left \lfloor \left (  \frac{n}{ 1+\pi (m)} \right )^{1/n} \right \rfloor }

Τώρα, για \pi(m) <n το \displaystyle{ \left ( \frac{n}{ 1+\pi (m)}\right ) ^{1/n}} είναι μεταξύ του 1 και του \sqrt [n] n <2 οπότε το ακέραιο μέρος του είναι 1. Όμοια για \pi(m) \ge n το ίδιο ακέραιo μέρος είναι 0. Οπότε το αποδεικτέο είναι άμεσο αφού σίγουρα 2^n \ge p_n (το 2^n είναι "πλασματικό" και στην θέση του μπορούμε να βάλουμε οποιοδήποτε φυσικό μεγαλύτερο του p_n).


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τύπος για πρώτους αριθμούς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 25, 2016 11:48 am

Demetres έγραψε: Θα δώσω την πηγή μετά την λύση.
Μετά από τόσα χρόνια δεν θυμάμαι πλέον την πηγή. :(
Mihalis_Lambrou έγραψε: Υποθέτω ότι το δεύτερο \lfloor ... \rfloor είναι τυπογραφικό σφάλμα και στην θέση του πρέπει να μπει παρένθεση.
Πιθανώς και όχι αφού είτε με \lfloor ... \rfloor είτε με παρένθεση το αποτέλεσμα είναι σωστό. (Με την ίδια ουσιαστικά απόδειξη.) Χωρίς την πηγή δεν μπορούμε όμως να ξέρουμε.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τύπος για πρώτους αριθμούς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 25, 2016 6:49 pm

Demetres έγραψε: Πιθανώς και όχι αφού είτε με \lfloor ... \rfloor είτε με παρένθεση το αποτέλεσμα είναι σωστό. (Με την ίδια ουσιαστικά απόδειξη.)
Δημήτρη, έχεις δίκιο. Τα δύο είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα με ίδια απόδειξη.

Στην βιασύνη νόμισα ότι ήταν "καλύτερο" με παρένθεση αντί ακέραιο μέρος γιατί το πρώτο κέρδιζε σε "απλότητα".


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης