Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Συντονιστής: nkatsipis
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Δύσκολο!
Το πολυώνυμο ασφαλώς δεν έχει πραγματική ρίζα. Οπότε αν δεν ήταν ανάγωγο θα μπορούσαμε να γράψουμε με τα να έχουν άρτιο βαθμό και να είναι παντού θετικά. [Ας θυμηθούμε ότι αν ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές είναι ανάγωγο επί του τότε είναι και ανάγωγο επί του .]
Έστω οπότε είναι και άρα και .
Παρατηρούμε ότι τα διαιρούν το ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Αφού τα είναι θετικοί ακέραιοι θα παίρνουν μόνο μία από πιθανές τιμές. Οπότε μία από αυτές τις τιμές θα λαμβάνεται τουλάχιστον από από τα . Άρα πρέπει να έχουμε .
Έστω . Από Lagrange Interpolation Formula μπορούμε να γράψουμε
όπου
Ο συντελεστής του στο είναι ένας μη μηδενικός ακέραιος ίσος με
Ισχύει λοιπόν ότι
άτοπο.
Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται το πιο κάτω λήμμα το οποίο είναι χρήσιμο για κριτήρια αναγωγισιμότητας:
Λήμμα: Έστω ακέραιο πολυώνυμο βαθμού και έστω διακεκριμένοι ακέραιοι οι οποίοι δεν είναι ρίζες του . Τότε για τουλάχιστον ένα από τα ισχύει ότι
Το λήμμα το πήρα από το βιβλίο Polynomials του Prasolov. (Παράγραφος 2.2.3 σελίδα 58.) Το «οι οποίοι δεν είναι ρίζες του » νομίζω είναι αχρείαστο.
Το πολυώνυμο ασφαλώς δεν έχει πραγματική ρίζα. Οπότε αν δεν ήταν ανάγωγο θα μπορούσαμε να γράψουμε με τα να έχουν άρτιο βαθμό και να είναι παντού θετικά. [Ας θυμηθούμε ότι αν ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές είναι ανάγωγο επί του τότε είναι και ανάγωγο επί του .]
Έστω οπότε είναι και άρα και .
Παρατηρούμε ότι τα διαιρούν το ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Αφού τα είναι θετικοί ακέραιοι θα παίρνουν μόνο μία από πιθανές τιμές. Οπότε μία από αυτές τις τιμές θα λαμβάνεται τουλάχιστον από από τα . Άρα πρέπει να έχουμε .
Έστω . Από Lagrange Interpolation Formula μπορούμε να γράψουμε
όπου
Ο συντελεστής του στο είναι ένας μη μηδενικός ακέραιος ίσος με
Ισχύει λοιπόν ότι
άτοπο.
Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται το πιο κάτω λήμμα το οποίο είναι χρήσιμο για κριτήρια αναγωγισιμότητας:
Λήμμα: Έστω ακέραιο πολυώνυμο βαθμού και έστω διακεκριμένοι ακέραιοι οι οποίοι δεν είναι ρίζες του . Τότε για τουλάχιστον ένα από τα ισχύει ότι
Το λήμμα το πήρα από το βιβλίο Polynomials του Prasolov. (Παράγραφος 2.2.3 σελίδα 58.) Το «οι οποίοι δεν είναι ρίζες του » νομίζω είναι αχρείαστο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες