Υπάρχει σταθερά;

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Υπάρχει σταθερά;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 12, 2016 11:31 am

Τη παρακάτω άσκηση τη πέτυχα σε βιβλίο. Δεν έχω λύση.

Να εξεταστεί αν υπάρχει σταθερά Q \neq 1 τέτοια ώστε η τιμή της \displaystyle{\left \lfloor Q^{2^n} \right \rfloor} να 'ναι πρώτος για κάθε n \geq 0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει σταθερά;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 12, 2016 12:57 pm

Τόλη, είσαι σίγουρος για το 2^n;

Την έχω ξαναδεί την άσκηση με 3^n αντί 2^n με την απάντηση να είναι θετική. Βασίζεται στο γεγονός ότι πάντα υπάρχει πρώτος μεταξύ των m^3 και (m+1)^3. Για να αντικατασταθεί το 3 με 2 σε αυτήν την απόδειξη θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι πάντα υπάρχει πρώτος μεταξύ των m^2 και (m+1)^2 το οποίο προς το παρόν είναι εικασία.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει σταθερά;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 12, 2016 1:52 pm

Δημήτρη, ναι, έτσι το δίνει. Πάντως, αν θες δώσε μας και απάντηση αν αλλάξουμε το 2 με 3. Θα θελα να δω ένα επιχείρημα με τη παραπλήσια.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Υπάρχει σταθερά;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Σεπ 12, 2016 3:04 pm

Demetres έγραψε:
... πάντα υπάρχει πρώτος μεταξύ των m^3 και (m+1)^3.
Νομίζω ότι και αυτό είναι εικασία. Έπεται από την Εικασία του Riemann, αλλά έχει αποδειχθεί μόνο για αρκετά μεγάλα n. Δείτε π.χ. εδώ. Αυτό αρκεί για την απόδειξη της ύπαρξης της σταθεράς Q (που αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως σταθερά του Mills).


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3825
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει σταθερά;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Σεπ 12, 2016 3:55 pm

Κι εγώ ξέρω για 3 αντί 2.

Έχω γράψει μερικά πράγματα στην εργασία εδώ: http://www.math.uoc.gr/~ags/prime_formulas.pdf αντλώντας πληροφορίες από το αντίστοιχο paper του Mills:

Mills W. H., A prime-representing function, Bulletin of the
American Mathematical Society 53 (1947) 604.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει σταθερά;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 12, 2016 7:57 pm

Καταρχάς ευχαριστώ για τη συμμετοχή. Βλέπω, εκ των υστέρων , πως το βιβλίο δίνει και απαντήσεις και στη συγκεκριμένη απλά λέει πως είναι ανοιχτό πρόβλημα. Διάβασα την εργασία του Αλέξανδρου αλλά δε νομίζω να είδα απόδειξη για το γεγονός ότι υπάρχει Q \neq 1 τέτοιο ώστε \lfloor Q^{3^{n}} \rfloor να 'ναι πρώτος για κάθε n \geq 0. Μήπως θέλει κάποιος να τη γράψει;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3825
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει σταθερά;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Σεπ 12, 2016 8:47 pm

Η απόδειξη υπάρχει στο paper του Mills που παρέθεσα παραπάνω. Το επισυνάπτω για πληρότητα. Στηρίζεται σε ένα προηγούμενο αποτέλεσμα του A.E. Ingham:

A.E. Ingham On the difference between consecutive primes, Quart. J. Math. Oxford Ser. vol. 8 (1937) pp. 255-266

σύμφωνα με το οποίο αν p_n είναι ο n-οστός πρώτος τότε p_{n+1}-p_n<Kp_n^{5/8} όπου K ένας σταθερός θετικός ακέραιος.

Ο σκοπός την εργασίας μου που αναφέρω παραπάνω, ήταν να παρουσιάσω τύπους που δίνουν τον n-οστό πρώτο αριθμό για τις διάφορες τιμές του n (υπάρχουν πολλοί κλειστοί ΚΑΙ αναδρομικοί τύποι σε αντίθεση με αυτό που γράφει το σχολικό βιβλίο στην Α Λυκείου στο εισαγωγικό κεφάλαιο των ακολουθιών ότι τέτοιοι τύποι δεν υπάρχουν. Είχα στείλει έγγραφο στο Υπουργείο πριν χρόνια - όταν ακόμη το κεφάλαιο των προόδων ήταν στη Β Λυκείου - για να κάνουν την αλλαγή αλλά τίποτα...). Μάλιστα παρουσιάζω και την απόδειξη ενός τύπου η οποία είναι σε όλη την έκτασή της κατανοητή από κάποιον που γνωρίζει στοιχειώδη θεωρία αριθμών (πλην ενός δύσκολου λήμματος που η απόδειξή του θέλει ισχυρότατα εργαλεία αναλυτικής θεωρίας αριθμών).

Αλέξανδρος
Συνημμένα
A prime-representing function (Mills 1947)_OK.pdf
(69.22 KiB) Μεταφορτώθηκε 23 φορές


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1908
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπάρχει σταθερά;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 12, 2016 9:29 pm

Νομίζω οτι το παρακάτω έχει ενδιαφέρον για αυτά που συζητούνται.
https://www.sonoma.edu/math/colloq/prim ... _24_08.pdf


Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1202
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Υπάρχει σταθερά;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τετ Σεπ 14, 2016 4:54 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Τη παρακάτω άσκηση τη πέτυχα σε βιβλίο. Δεν έχω λύση.

Να εξεταστεί αν υπάρχει σταθερά Q \neq 1 τέτοια ώστε η τιμή της \displaystyle{\left \lfloor Q^{2^n} \right \rfloor} να 'ναι πρώτος για κάθε n \geq 0.
Αν είχαμε αποδείξει το παρακάτω ισχυρότερο αποτέλεσμα τότε ίσως να είχαμε απάντηση.

p_{n+1}-p_n<kp_n^{\dfrac{1-m}{2}} ,για κάποιον θετικό m.

Καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα που μπόρεσα να βρώ είναι p_{n+1}-p_n<kp_n^{\dfrac{1051}{1920}} και η πηγή είναι αυτή:

http://mathworld.wolfram.com/MillsTheorem.html


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης