Διαίρεση με n!
Συντονιστής: nkatsipis
Διαίρεση με n!
Υπάρχει κάποια λύση (χωρίς διωνυμικό τελεστή) για την απόδειξη της πρότασης "το γινόμενο n διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το n!";(Με επαγωγή και αναδρομές)
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13174
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαίρεση με n!
Θέλουμε να δείξουμε ότιgeorgevg έγραψε:Υπάρχει κάποια λύση (χωρίς διωνυμικό τελεστή) για την απόδειξη της πρότασης "το γινόμενο n διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το n!";(Με επαγωγή και αναδρομές)

Υπάρχει τρόπος να το αποδείξουμε με διπλή επαγωγή, ως προς


Κάνουμε επαγωγή στο

Αν

Για το επαγωγικό βήμα έχουμε να δείξουμε ότι αν ισχύει η





Σπάζοντας τον τελευταίο παράγοντα στα δύο, έχουμε από την επαγωγική υπόθεση ότι υπάρχουν φυσικοί

![(p+1)(p+2)...(p+q) = \left [(p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ] p +\left [ (p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ]q (p+1)(p+2)...(p+q) = \left [(p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ] p +\left [ (p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ]q](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b9f5c1800560093a187933e90f1ce5a2.png)
![= p(p+1)(p+2)...(p+q-1) +\left [ (p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ]q = p(p+1)(p+2)...(p+q-1) +\left [ (p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ]q](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7caf3cc5c8cf0a76c9c42cfd78c340a0.png)
![= aq! +\left [ b(q-1)!\right ]q= cq! = aq! +\left [ b(q-1)!\right ]q= cq!](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b8c02dd02fc41ece2e293d24f9e8e932.png)
Αυτό δείχνει το επαγωγικό βήμα, οπότε ολοκληρώνεται η απόδειξη.
Re: Διαίρεση με n!
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, όμως δεν κατάλαβα γιατί παίρνουμε q+p=N+1.Απορρέει από κάποιο κανόνα ή θεωρία;
Re: Διαίρεση με n!
Δεν ξερω αν ειναι σωστό, μου φαίνεται πολυ απλό, αλλα αφου ειναιgeorgevg έγραψε:Υπάρχει κάποια λύση (χωρίς διωνυμικό τελεστή) για την απόδειξη της πρότασης "το γινόμενο n διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το n!";(Με επαγωγή και αναδρομές)



-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13174
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαίρεση με n!
Χάρη, δεν είναι σωστό το επιχείρημά σου. Ο ευκολότερος τρόπος να το δεις είναι με παράδειγμα:ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Δεν ξερω αν ειναι σωστό, μου φαίνεται πολυ απλό, αλλα αφου ειναιδιαδοχικοί ακέραιοι δεν θα υπάρχει τουλαχιςτον ενα πολλαπλασιο του
δηλ. του
;
Ο αριθμός



Μην το μπλέκεις με την περίπτωση που αν οι




-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13174
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαίρεση με n!
Μάλλον δεν έχεις ξεκαθαρίσει τι είναι αυτό που ονομάζουμε "επαγωγικό επιχείρημα", γι' αυτό και η ερώτηση. Διάβασε περί επαγωγής (ουσιαστικά όμως) και αν τότε δυσκολευτείς, θα δούμε τι μπορούμε να κάνουμε. Αλλιώς είναι πολύ δύσκολο με το πληκτρολόγιο να εξηγούμε τι είναι επαγωγή, δεδομένου ότι καλύπτεται επαρκέστατα στα βιβλία.georgevg έγραψε:Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, όμως δεν κατάλαβα γιατί παίρνουμε q+p=N+1.Απορρέει από κάποιο κανόνα ή θεωρία;
Re: Διαίρεση με n!
Mihalis_Lambrou έγραψε:Χάρη, δεν είναι σωστό το επιχείρημά σου. Ο ευκολότερος τρόπος να το δεις είναι με παράδειγμα:ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Δεν ξερω αν ειναι σωστό, μου φαίνεται πολυ απλό, αλλα αφου ειναιδιαδοχικοί ακέραιοι δεν θα υπάρχει τουλαχιςτον ενα πολλαπλασιο του
δηλ. του
;
Ο αριθμόςέχει μέσα του πολλαπλάσιο του
αλλά ο ίδιος δεν είναι πολλαπλάσιο του
.
Μην το μπλέκεις με την περίπτωση που αν οιδιαιρούν τον
και είναι πρώτοι προς αλλήλους, τότε και το γινόμενο
διαιρεί τον
.
Κύριε Μιχάλη έχετε δίκιο. Σας ευχαριστώ πολυ για την εξήγηση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης