Διαίρεση με n!

Συντονιστής: nkatsipis

georgevg
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 29, 2016 2:08 pm

Διαίρεση με n!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από georgevg » Πέμ Ιαν 19, 2017 9:53 pm

Υπάρχει κάποια λύση (χωρίς διωνυμικό τελεστή) για την απόδειξη της πρότασης "το γινόμενο n διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το n!";(Με επαγωγή και αναδρομές)



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαίρεση με n!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 20, 2017 1:21 am

georgevg έγραψε:Υπάρχει κάποια λύση (χωρίς διωνυμικό τελεστή) για την απόδειξη της πρότασης "το γινόμενο n διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το n!";(Με επαγωγή και αναδρομές)
Θέλουμε να δείξουμε ότι n! | (k+1)(k+2)...(k+n) \, (*) .

Υπάρχει τρόπος να το αποδείξουμε με διπλή επαγωγή, ως προς k και n, αλλά ο ακόλουθος τρόπος είναι πιο σβέλτος.

Κάνουμε επαγωγή στο k+n.

Αν k+n=2, το ζητούμενο είναι άμεσο.

Για το επαγωγικό βήμα έχουμε να δείξουμε ότι αν ισχύει η (*) για όλα τα k,n με k+n=N, τότε για p+q=N+1 θα ισχύει q! | (p+1)(p+2)...(p+q) .

Σπάζοντας τον τελευταίο παράγοντα στα δύο, έχουμε από την επαγωγική υπόθεση ότι υπάρχουν φυσικοί a,b με

(p+1)(p+2)...(p+q) = \left [(p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ] p +\left [ (p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ]q

= p(p+1)(p+2)...(p+q-1) +\left [ (p+1)(p+2)...(p+q-1)\right ]q

= aq! +\left [ b(q-1)!\right ]q= cq!

Αυτό δείχνει το επαγωγικό βήμα, οπότε ολοκληρώνεται η απόδειξη.


georgevg
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 29, 2016 2:08 pm

Re: Διαίρεση με n!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από georgevg » Παρ Ιαν 20, 2017 3:37 pm

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, όμως δεν κατάλαβα γιατί παίρνουμε q+p=N+1.Απορρέει από κάποιο κανόνα ή θεωρία;


harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διαίρεση με n!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Παρ Ιαν 20, 2017 5:54 pm

georgevg έγραψε:Υπάρχει κάποια λύση (χωρίς διωνυμικό τελεστή) για την απόδειξη της πρότασης "το γινόμενο n διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το n!";(Με επαγωγή και αναδρομές)
Δεν ξερω αν ειναι σωστό, μου φαίνεται πολυ απλό, αλλα αφου ειναι n διαδοχικοί ακέραιοι δεν θα υπάρχει τουλαχιςτον ενα πολλαπλασιο του n,n-1,...,2 δηλ. του n! ;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαίρεση με n!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 20, 2017 6:57 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Δεν ξερω αν ειναι σωστό, μου φαίνεται πολυ απλό, αλλα αφου ειναι n διαδοχικοί ακέραιοι δεν θα υπάρχει τουλαχιςτον ενα πολλαπλασιο του n,n-1,...,2 δηλ. του n! ;
Χάρη, δεν είναι σωστό το επιχείρημά σου. Ο ευκολότερος τρόπος να το δεις είναι με παράδειγμα:

Ο αριθμός 12 έχει μέσα του πολλαπλάσιο του 4, \, 3, \, 2 αλλά ο ίδιος δεν είναι πολλαπλάσιο του 4!=24.

Μην το μπλέκεις με την περίπτωση που αν οι a, \, b, \, ...\, c διαιρούν τον n και είναι πρώτοι προς αλλήλους, τότε και το γινόμενο a\cdot b \cdot ... \cdot c διαιρεί τον n.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαίρεση με n!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 20, 2017 7:03 pm

georgevg έγραψε:Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, όμως δεν κατάλαβα γιατί παίρνουμε q+p=N+1.Απορρέει από κάποιο κανόνα ή θεωρία;
Μάλλον δεν έχεις ξεκαθαρίσει τι είναι αυτό που ονομάζουμε "επαγωγικό επιχείρημα", γι' αυτό και η ερώτηση. Διάβασε περί επαγωγής (ουσιαστικά όμως) και αν τότε δυσκολευτείς, θα δούμε τι μπορούμε να κάνουμε. Αλλιώς είναι πολύ δύσκολο με το πληκτρολόγιο να εξηγούμε τι είναι επαγωγή, δεδομένου ότι καλύπτεται επαρκέστατα στα βιβλία.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διαίρεση με n!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Παρ Ιαν 20, 2017 7:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Δεν ξερω αν ειναι σωστό, μου φαίνεται πολυ απλό, αλλα αφου ειναι n διαδοχικοί ακέραιοι δεν θα υπάρχει τουλαχιςτον ενα πολλαπλασιο του n,n-1,...,2 δηλ. του n! ;
Χάρη, δεν είναι σωστό το επιχείρημά σου. Ο ευκολότερος τρόπος να το δεις είναι με παράδειγμα:

Ο αριθμός 12 έχει μέσα του πολλαπλάσιο του 4, \, 3, \, 2 αλλά ο ίδιος δεν είναι πολλαπλάσιο του 4!=24.

Μην το μπλέκεις με την περίπτωση που αν οι a, \, b, \, ...\, c διαιρούν τον n και είναι πρώτοι προς αλλήλους, τότε και το γινόμενο a\cdot b \cdot ... \cdot c διαιρεί τον n.

Κύριε Μιχάλη έχετε δίκιο. Σας ευχαριστώ πολυ για την εξήγηση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες