Πρώτοι και ακέραιοι

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Πρώτοι και ακέραιοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιαν 22, 2017 2:00 pm

Έστω μία συνάρτηση f(x,k)=x^{3k+2}+x+1 η οποία ορίζεται στους μη αρνητικούς ακεραίους. Να βρεθούν όλες οι τετράδες (x,n,p,q) όπου p,q πρώτοι αριθμοί και x,n θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση:
\prod_{k=0}^{n}f(x,k)=(pq)^n


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Πρώτοι και ακέραιοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Ιαν 27, 2017 2:10 pm

Να θυμίσω πως: a-b|a^n-b^n.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 712
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πρώτοι και ακέραιοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Ιαν 27, 2017 3:17 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Έστω μία συνάρτηση f(x,k)=x^{3k+2}+x+1 η οποία ορίζεται στους μη αρνητικούς ακεραίους. Να βρεθούν όλες οι τετράδες (x,n,p,q) όπου p,q πρώτοι αριθμοί και x,n θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση:
\prod_{k=0}^{n}f(x,k)=(pq)^n
Καλησπέρα,

Από το πρόβλημα εδώ, έχουμε

\prod_{k=0}^{n}f(x,k) = (x^2+x+1)^{n+1} \cdot 1  \cdot \prod_{k=1}^{n}f_{k}(x,k)

όπου f_{k} πολυώνυμα (φυσικοί αριθμοί). Το (x^2+x+1)^n μας δίνει ήδη το έναν όρο p^n οπότε θα πρέπει

(x^2+x+1)   \cdot \prod_{k=1}^{n}f_{k}(x,k) = q^n το οποίο εύκολα βλέπουμε ότι για n > 1 δεν μπορεί να συμβεί και επίσης θα πρέπει p=q.

Για n=1 έχουμε ότι το f_{1}(x,1) = x^3-x^2+1 θα πρέπει να ισούται με 1. Άρα x=1 και για αυτή την τιμή είναι p=3.

Εν τέλη, μοναδική λύση η τετράδα (1, 1, 3, 3).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες