Πρώτοι και ακέραιοι

Γιάννης Μπόρμπας

Έστω μία συνάρτηση $f(x,k)=x^{3k+2}+x+1$ η οποία ορίζεται στους μη αρνητικούς ακεραίους. Να βρεθούν όλες οι τετράδες (x,n,p,q)

όπου

πρώτοι αριθμοί και x,n

θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση:
$\prod_{k=0}^{n}f(x,k)=(pq)^n$

Γιάννης Μπόρμπας

Να θυμίσω πως: a-b|a^n-b^n

.

Al.Koutsouridis

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Έστω μία συνάρτηση $f(x,k)=x^{3k+2}+x+1$ η οποία ορίζεται στους μη αρνητικούς ακεραίους. Να βρεθούν όλες οι τετράδες όπου πρώτοι αριθμοί και θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση:
$\prod_{k=0}^{n}f(x,k)=(pq)^n$

Καλησπέρα,

Από το πρόβλημα εδώ, έχουμε

$\prod_{k=0}^{n}f(x,k) = (x^2+x+1)^{n+1} \cdot 1 \cdot \prod_{k=1}^{n}f_{k}(x,k)$

όπου $f_{k}$ πολυώνυμα (φυσικοί αριθμοί). Το (x^2+x+1)^n

μας δίνει ήδη το έναν όρο p^n

οπότε θα πρέπει

$(x^2+x+1) \cdot \prod_{k=1}^{n}f_{k}(x,k) = q^n$ το οποίο εύκολα βλέπουμε ότι για n > 1

δεν μπορεί να συμβεί και επίσης θα πρέπει p=q

.

Για

έχουμε ότι το $f_{1}(x,1) = x^3-x^2+1$ θα πρέπει να ισούται με 1. Άρα x=1

και για αυτή την τιμή είναι p=3

.

Εν τέλη, μοναδική λύση η τετράδα (1, 1, 3, 3)

.

Πρώτοι και ακέραιοι

Πρώτοι και ακέραιοι

Re: Πρώτοι και ακέραιοι

Re: Πρώτοι και ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση