Είναι ακέραιος ;

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3597
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Είναι ακέραιος ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Αύγ 30, 2017 8:45 pm

Ψάχνοντας κάποιες προεκτάσεις πάνω σε ένα θέμα έπεσα πάνω σε τούτο για το οποίο δεν έχω λύση.

Έστω n \geq 1 και ας δηλώσουμε με \mathcal{H}_n το n - οστό αρμονικό όρο. Επίσης ας δηλώσουμε με {\rm lcm}  ( \cdot , \cdot ) το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Είναι αλήθεια ότι η ακολουθία
\displaystyle{a_n=n^{\mathcal{H}_n {\rm lcm}(1,2,\dots,n)}} είναι ακέραια , δηλ. περιέχει μόνο ακέραιους αριθμούς ;

Υ.Σ: Μόλις συνειδητοποίησα πως η εντολή \lcm δίδει \lcm ενώ στον editor δεν αναγνωρίζεται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10674
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι ακέραιος ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 31, 2017 3:09 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Ψάχνοντας κάποιες προεκτάσεις πάνω σε ένα θέμα έπεσα πάνω σε τούτο για το οποίο δεν έχω λύση.

Έστω n \geq 1 και ας δηλώσουμε με \mathcal{H}_n το n - οστό αρμονικό όρο. Επίσης ας δηλώσουμε με {\rm lcm}  ( \cdot , \cdot ) το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Είναι αλήθεια ότι η ακολουθία
\displaystyle{a_n=n^{\mathcal{H}_n {\rm lcm}(1,2,\dots,n)}} είναι ακέραια , δηλ. περιέχει μόνο ακέραιους αριθμούς ;

Υ.Σ: Μόλις συνειδητοποίησα πως η εντολή \lcm δίδει \lcm ενώ στον editor δεν αναγνωρίζεται.
Έχω να πιάσω αεροπλάνο σε 10 λεπτά και ίσως δεν βλέπω κάτι λόγω ... άγχους:

Η άσκηση είναι απόλυτα, μα ΑΠΟΛΥΤΑ, τετριμμένη.

Υπόδειξη: Δείξε ότι ο \mathcal{H}_n {\rm lcm}(1,2,\dots,n)} (και μάλιστα κάθε προσθετέος χωριστά) είναι για τεριμμένο λόγο ακέραιος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης