Διαιρείται με το 3

alexandrosvets · #1

Καλησπέρα σας με μια άσκηση που προέκυψε από την προσπάθεια επίλυσης μιας άλλης άσκησης.

Έστω ότι γνώριζουμε ότι η εξίσωση $3\sqrt{x-7}+4\sqrt{x}=9+x$ έχει λύση.Να αποδειχθεί ότι $3| \sqrt{x-7}$ χωρίς την επίλυση της εξίσωσης.

Σήμειωση: ΔΕΝ ΕΧΩ ΛΥΣΗ

#2

Αφού ζητάμε $\displaystyle{3|\sqrt{x-7}}$ , άρα πρέπει ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{x-7}}$ να είναι ακέραιος. Άρα $\displaystyle{\sqrt{x-7}=k}$ ,

με $\displaystyle{k\in N}$ . Άρα $\displaystyle{x=k^2+7}$ .

Η δοσμένη εξίσωση τώρα γράφεται : $\displaystyle{3k+4\sqrt{k^2+7}=9+k^2+7\Leftrightarrow 4\sqrt{k^2+7}=k^2 -3k+16}$ .

Όμως αφού το δεύτερο μέλος της πιο πάνω εξίσωσης είναι ακέραιος, πρέπει και το πρώτο να είναι ακέραιος.

Άρα πρέπει ο αριθμοός $\displaystyle{k^2 +7}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Όμως $\displaystyle{k^2 <k^2 +7\leq (k+1)^2}$ ,

για κάθε $\displaystyle{k\geq 3}$ , (εύκολο). Άν όμως $\displaystyle{k\in\{0,1,2\}}$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{k^2 +7}$ δεν είναι τετράγωνος,

οπότε οι τιμές αυτές απορρίπτονται.

Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι $\displaystyle{k^2 +7 =(k+1)^2}$ , αφού ανάμεσα στους διαδοχικούς τετράγωνους αριθμούς

$\displaystyle{k^2}$ και $\displaystyle{k+1)^2}$ , δεν υπάρχει άλλος τετράγωνος ακέραιος. Συνεπώς έχουμε $\displaystyle{k^2 +7=k^2 +2k+1}$ και

άρα $\displaystyle{k=3}$ . Άρα από $\displaystyle{x=k^2 +7}$ έπεται ότι $\displaystyle{x=16}$ , οπότε $\displaystyle{\sqrt{x-7}=3}$ και συνεπώς $\displaystyle{3|\sqrt{x-7}}$

alexandrosvets · #3

Καλησπέρα σας κύριε Ιωάννου,

Δεν θα έπρεπε να αποδείξετε ότι όντως είναι ακέραιος αριθμός η λύση της εξίσωσης πρωτού ισχυριστείτε $\sqrt{x-7}=k$ ;

Μήπως κάτι χανω;

Φιλικά,
Αλέξανδρος

#4

alexandrosvets έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 17, 2018 9:05 pm
Καλησπέρα σας κύριε Ιωάννου,

Δεν θα έπρεπε να αποδείξετε ότι όντως είναι ακέραιος αριθμός η λύση της εξίσωσης πρωτού ισχυριστείτε $\sqrt{x-7}=k$ ;

Μήπως κάτι χανω;

Φιλικά,
Αλέξανδρος

Καλό βράδυ Αλέξανδρε.

Την στιγμή που η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε μια διαιρετότητα, θεώρησα δεδομένο ότι πρέπει ο αριθμός μας να είναι ακέραιος.

Δεν ξέρω αν μπορεί να δοθεί απάντηση αν δεν πάρουμε ως δεδομένο το ότι είναι ακέραιος, χωρίς προηγουμένως να λύσουμε την αρχική εξίσωση.

Διαιρείται με το 3

Διαιρείται με το 3

Re: Διαιρείται με το 3

Re: Διαιρείται με το 3

Re: Διαιρείται με το 3

Μέλη σε σύνδεση