Διοφαντική εξίσωση

Συντονιστής: nkatsipis

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Διοφαντική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Τρί Αύγ 13, 2019 4:13 pm

Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διοφαντική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Αύγ 13, 2019 5:07 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 4:13 pm
Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0.
Νομίζω ότι είναι πολύ κοινή και χιλιοειπωμένη μορφή Διοφαντικής. Λύνεται με διάφορους τρόπους αλλά να ένας στάνταρ (τυφλοσούρτης που δεν θέλει πολλή σκέψη):

Ως τριώνυμο του x η παραπάνω, τουτέστιν x^{2}+(2y-1)χ+(2y^{2}+2y-4)=0, έχει διακρίνουσα D=-4y^2-12y+17. Την θέλουμε θετική για να έχει λύση ως προς x (ακριβέστερα, πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο για να έχουμε ρητή ρίζα x αλλά θα επανέλθουμε σε αυτό). Η

-4y^2-12y+17 \ge 0 δίνει -\frac {3}{2} - \frac {1}{2} \sqrt {26} \le y \le -\frac {3}{2} + \frac {1}{2} \sqrt {26} από όπου y\in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}.

Δοκιμάζουμε κάθε μία χωριστά. Τέλειο τετράγωνο D δίνουν οι y=-4, -2,-1 και 1. Η y=-4 δίνει x=4 ή x=5 (δεκτές). 'Όμοια οι υπόλοιπες. Αν δεν έχασα καμία, οι λύσεις είναι (4,-4),(5,-4), (0,-2),(5,-2), (4,-1),(-1,-1), (-1,1),(0,1).


GreenMosquito
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 02, 2019 8:00 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GreenMosquito » Κυρ Νοέμ 03, 2019 7:29 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 5:07 pm

Νομίζω ότι είναι πολύ κοινή και χιλιοειπωμένη μορφή Διοφαντικής. Λύνεται με διάφορους τρόπους αλλά να ένας στάνταρ (τυφλοσούρτης που δεν θέλει πολλή σκέψη):

Ως τριώνυμο του x η παραπάνω, τουτέστιν x^{2}+(2y-1)χ+(2y^{2}+2y-4)=0, έχει διακρίνουσα D=-4y^2-12y+17. Την θέλουμε θετική για να έχει λύση ως προς x (ακριβέστερα, πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο για να έχουμε ρητή ρίζα x αλλά θα επανέλθουμε σε αυτό). Η

-4y^2-12y+17 \ge 0 δίνει -\frac {3}{2} - \frac {1}{2} \sqrt {26} \le y \le -\frac {3}{2} + \frac {1}{2} \sqrt {26} από όπου y\in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}.

Δοκιμάζουμε κάθε μία χωριστά. Τέλειο τετράγωνο D δίνουν οι y=-4, -2,-1 και 1. Η y=-4 δίνει x=4 ή x=5 (δεκτές). 'Όμοια οι υπόλοιπες. Αν δεν έχασα καμία, οι λύσεις είναι (4,-4),(5,-4), (0,-2),(5,-2), (4,-1),(-1,-1), (-1,1),(0,1).
Συγνώμη που απαντάω μετά από τόσο καιρό, αλλά θα ήθελα να προτείνω έναν εναλλαχτικό (αλλά λιγότερο κομψό) τρόπο λύσης.

Όπως αναφέρθηκε στο παραπάνω σχόλιο η διακρίνουσα D πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω ότι τότε ο a
είναι ένας φυσικός αριθμός, ώστε: D=a^{2}.

Τότε, έχουμε το τριώνυμο ως προς y:

4y^{2}+12y+(a^{2}-17)=0

με διακρίνουσα:

D'=16(26-a^{2})

Αν θέσουμε όπου D'=b^{2}, όπου ο b είναι ένας φυσικός, τότε:

b^{2}=16(26-a^{2})

Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι ο b είναι πολλαπλάσιο του 4. Αν υποθέσουμε ότι b=4c (όπου ο c είναι κάποιος φυσικός)
τότε καταλήγουμε με την εξίσωση:

a^{2}+c^{2}=26

Με εις άτοπο απαγωγή εύκολα αποδεικνύεται ότι ο α είναι ένας φυσικός ο οποίος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος ή ίσως του 6. Άρα, a\in \left \{ 0,1,2,3,4,5 \right \}. Με δοκιμές, βρίσκουμε ότι οι μόνες λύσεις της παραπάνω εξίσωσης είναι οι: (a,c)=(1,5),(5,1)

Εν κατακλείδι, το y μπορεί να βρεθεί συναρτήσει του c, ως η λύση του τριωνύμου:

4y^{2}+12y+(a^{2}-17)=0

με διακρίνουσα 16c^{2}.

To x βρίσκεται ως η λύση του τριωνύμου:

x^{2}+(2y-1)x+(2y^{2}+2y-4)=0

με διακρίνουσα το a^{2}.

Με αυτό τον τρόπο, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, βρίσκουμε τις λύσεις:

(x,y)=(-1,-1),(-1,1),(0,-2),(0,1),(4,-4),(4,-1),(5,-4),(5,-2)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Ουσιαστικά, με βάσει την παραπάνω λύση, αυτό που προσπαθούμε να κάνουμε είναι να ξεχωρίσουμε τις μεταβλητές x,y, δημιουργώντας τις καινούργιες μεταβλητές a,c.

Έτσι, από την εξίσωση:

x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0

καταλήγουμε στην εξίσωση:

a^{2}+c^{2}=26


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες