Διοφαντική εξίσωση

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #1

Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: $x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0$ .

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 13, 2019 4:13 pm
Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: $x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0$ .

Νομίζω ότι είναι πολύ κοινή και χιλιοειπωμένη μορφή Διοφαντικής. Λύνεται με διάφορους τρόπους αλλά να ένας στάνταρ (τυφλοσούρτης που δεν θέλει πολλή σκέψη):

Ως τριώνυμο του

η παραπάνω, τουτέστιν $x^{2}+(2y-1)χ+(2y^{2}+2y-4)=0$ , έχει διακρίνουσα D=-4y^2-12y+17

. Την θέλουμε θετική για να έχει λύση ως προς

(ακριβέστερα, πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο για να έχουμε ρητή ρίζα

αλλά θα επανέλθουμε σε αυτό). Η

$-4y^2-12y+17 \ge 0$ δίνει $-\frac {3}{2} - \frac {1}{2} \sqrt {26} \le y \le -\frac {3}{2} + \frac {1}{2} \sqrt {26}$ από όπου $y\in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}$ .

Δοκιμάζουμε κάθε μία χωριστά. Τέλειο τετράγωνο

δίνουν οι

και

. Η

δίνει

ή

(δεκτές). 'Όμοια οι υπόλοιπες. Αν δεν έχασα καμία, οι λύσεις είναι (4,-4),(5,-4), (0,-2),(5,-2), (4,-1),(-1,-1), (-1,1),(0,1)

.

GreenMosquito · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 13, 2019 5:07 pm

Νομίζω ότι είναι πολύ κοινή και χιλιοειπωμένη μορφή Διοφαντικής. Λύνεται με διάφορους τρόπους αλλά να ένας στάνταρ (τυφλοσούρτης που δεν θέλει πολλή σκέψη):

Ως τριώνυμο του η παραπάνω, τουτέστιν $x^{2}+(2y-1)χ+(2y^{2}+2y-4)=0$ , έχει διακρίνουσα . Την θέλουμε θετική για να έχει λύση ως προς (ακριβέστερα, πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο για να έχουμε ρητή ρίζα αλλά θα επανέλθουμε σε αυτό). Η

$-4y^2-12y+17 \ge 0$ δίνει $-\frac {3}{2} - \frac {1}{2} \sqrt {26} \le y \le -\frac {3}{2} + \frac {1}{2} \sqrt {26}$ από όπου $y\in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}$ .

Δοκιμάζουμε κάθε μία χωριστά. Τέλειο τετράγωνο δίνουν οι και . Η δίνει ή (δεκτές). 'Όμοια οι υπόλοιπες. Αν δεν έχασα καμία, οι λύσεις είναι .

Συγνώμη που απαντάω μετά από τόσο καιρό, αλλά θα ήθελα να προτείνω έναν εναλλαχτικό (αλλά λιγότερο κομψό) τρόπο λύσης.

Όπως αναφέρθηκε στο παραπάνω σχόλιο η διακρίνουσα

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω ότι τότε ο

είναι ένας φυσικός αριθμός, ώστε: $D=a^{2}$ .

Τότε, έχουμε το τριώνυμο ως προς y:

$4y^{2}+12y+(a^{2}-17)=0$

με διακρίνουσα:

$D'=16(26-a^{2})$

Αν θέσουμε όπου $D'=b^{2}$ , όπου ο

είναι ένας φυσικός, τότε:

$b^{2}=16(26-a^{2})$

Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι ο

είναι πολλαπλάσιο του 4. Αν υποθέσουμε ότι b=4c

(όπου ο

είναι κάποιος φυσικός)
τότε καταλήγουμε με την εξίσωση:

$a^{2}+c^{2}=26$

Με εις άτοπο απαγωγή εύκολα αποδεικνύεται ότι ο α είναι ένας φυσικός ο οποίος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος ή ίσως του 6. Άρα, $a\in \left \{ 0,1,2,3,4,5 \right \}$ . Με δοκιμές, βρίσκουμε ότι οι μόνες λύσεις της παραπάνω εξίσωσης είναι οι: (a,c)=(1,5),(5,1)

Εν κατακλείδι, το

μπορεί να βρεθεί συναρτήσει του

, ως η λύση του τριωνύμου:

$4y^{2}+12y+(a^{2}-17)=0$

με διακρίνουσα $16c^{2}$ .

To

βρίσκεται ως η λύση του τριωνύμου:

$x^{2}+(2y-1)x+(2y^{2}+2y-4)=0$

με διακρίνουσα το $a^{2}$ .

Με αυτό τον τρόπο, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, βρίσκουμε τις λύσεις:

(x,y)=(-1,-1),(-1,1),(0,-2),(0,1),(4,-4),(4,-1),(5,-4),(5,-2)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Ουσιαστικά, με βάσει την παραπάνω λύση, αυτό που προσπαθούμε να κάνουμε είναι να ξεχωρίσουμε τις μεταβλητές x,y

, δημιουργώντας τις καινούργιες μεταβλητές a,c

.

Έτσι, από την εξίσωση:

$x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0$

καταλήγουμε στην εξίσωση:

$a^{2}+c^{2}=26$

Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση