p-adic αριθμών

Συντονιστής: nkatsipis

bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

p-adic αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Δευ Νοέμ 11, 2019 8:22 am

Ένα πρόβλημα που προέκυψε μελετώντας κάποια άλλα πράγματα. Έστω p ένας πρώτος αριθμός και \mathbb{Q}_p το σώματα των p-adic αριθμών. Να δείξετε ότι a\in\mathbb{Q}_p είναι μία p-οστη δύναμη αν και μόνο αν a^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B.Pascal

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: p-adic αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 13, 2019 11:20 am

Φαντάζομαι εννοείς a \in \mathbb{Z}_p. Χρειαζόμαστε επίσης τη συνθήκη a \neq 0 \bmod p.

Θα χρησιμοποιήσουμε την αλγεβρική προσέγγιση όπου κάθε x \in \mathbb{Z}_p είναι μια ακολουθία (x_n) με x_n \in \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{p^n} και x_n \equiv x_m \bmod p^m για n \geqslant m.

Ας υποθέσουμε αρχικά ότι a = b^p. Έστω b = (b_n). Τότε a = (b_n^p) και a^{p-1} = (b_n^{p(p-1)}). Έχουμε b_2^{p(p-1)} \equiv 1 \bmod p^2 από το Θεώρημα Euler, άρα και a \equiv 1 \bmod p^2. [Πρέπει b_2 \neq 0 \bmod p αφού a \neq 0 \bmod p.]

Έστω τώρα a = (a_n) όπου a_2^{p-1} \equiv 1 \bmod p^2. Πρέπει να βρούμε ακολουθία (b_n) ώστε b_n^p \equiv a_n \bmod p^n. Ασφαλώς πρέπει και αρκεί να ισχύει επίσης ότι b_{n+1} \equiv b_n \bmod p^n για κάθε n.

Θα βρούμε τέτοια ακολουθία η οποία ικανοποιεί το πιο ισχυρό b_n^p \equiv a_{n+1} \bmod p^{n+1}.

Για n=1 θέλουμε b_1^p \equiv a_2 \bmod p^2. Θα δείξουμε ότι ο b_1 = a_1 μας κάνει. Σίγουρα b_1^p \equiv a_1^p \equiv a_1 \equiv a_2^p. Άρα b_1^p = a_2 + rp για κάποιο r. Τότε

\displaystyle (b_1^p)^{p-1} \equiv (a_2 + rp)^{p-1} \equiv a_2^{p-1} + (p-1)rpa_2 \bmod p^2

Όμως (b_1^p)^{p-1} \equiv 1 \bmod p^2 και a_2^{p-1} \equiv a_2 \equiv 1 \bmod p^2. Άρα (p-1)rpa_2 \equiv 0 \bmod p^2 που δίνει r \equiv 0 \bmod p. Τότε όμως b_1^p = a_2 + rp \equiv 0 \bmod p^2 όπως θέλαμε.

Τώρα προχωράμε επαγωγικά με παρόμοιο τρόπο όπως στο Hensel's lemma.

Έστω ότι έχω b_k^p \equiv a_{k+1} \bmod p^{k+1}. Δοκιμάζω b_{k+1} = b_k + rp^{k+1} για κάποιο r. Τότε

\displaystyle  b_{k+1}^p \equiv (b_k + rp^k)^p \equiv (b_k^p + rb_kp^{k+1}) \bmod p^{k+2}

Αφού b_k^p \equiv a_{k+1} \equiv a_{k+2} \bmod p^{k+1} μπορώ να γράψω b_k^p = a_{k+2} + sp^{k+1}. Παίρνω

\displaystyle  b_{k+1}^p - a_{k+2} \equiv (rb_k+s)p^{k+1} \bmod p^{k+2}

Έχω πλήρη ελευθερία στην επιλογή του r και θέτοντας r = -st όπου t το αντίστροφο του b_k modulo p καταλήγω στο b_{k+1} \equiv a_{k+2} \bmod p^{k+2} και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.


bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: p-adic αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Σάβ Νοέμ 30, 2019 12:10 am

Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 11:20 am
Φαντάζομαι εννοείς a \in \mathbb{Z}_p. Χρειαζόμαστε επίσης τη συνθήκη a \neq 0 \bmod p.
Ναι χρειαζόμαστε a \in \mathbb{Z}_p^*! Και μία παρόμοια λύση είχα στο μυαλό μου.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B.Pascal
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης