p-adic αριθμών
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
p-adic αριθμών
Ένα πρόβλημα που προέκυψε μελετώντας κάποια άλλα πράγματα. Έστω ένας πρώτος αριθμός και το σώματα των -adic αριθμών. Να δείξετε ότι είναι μία -οστη δύναμη αν και μόνο αν .
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: p-adic αριθμών
Φαντάζομαι εννοείς . Χρειαζόμαστε επίσης τη συνθήκη .
Θα χρησιμοποιήσουμε την αλγεβρική προσέγγιση όπου κάθε είναι μια ακολουθία με και για .
Ας υποθέσουμε αρχικά ότι . Έστω . Τότε και . Έχουμε από το Θεώρημα Euler, άρα και . [Πρέπει αφού .]
Έστω τώρα όπου . Πρέπει να βρούμε ακολουθία ώστε . Ασφαλώς πρέπει και αρκεί να ισχύει επίσης ότι για κάθε .
Θα βρούμε τέτοια ακολουθία η οποία ικανοποιεί το πιο ισχυρό .
Για θέλουμε . Θα δείξουμε ότι ο μας κάνει. Σίγουρα . Άρα για κάποιο . Τότε
Όμως και . Άρα που δίνει . Τότε όμως όπως θέλαμε.
Τώρα προχωράμε επαγωγικά με παρόμοιο τρόπο όπως στο Hensel's lemma.
Έστω ότι έχω . Δοκιμάζω για κάποιο . Τότε
Αφού μπορώ να γράψω . Παίρνω
Έχω πλήρη ελευθερία στην επιλογή του και θέτοντας όπου το αντίστροφο του modulo καταλήγω στο και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.
Θα χρησιμοποιήσουμε την αλγεβρική προσέγγιση όπου κάθε είναι μια ακολουθία με και για .
Ας υποθέσουμε αρχικά ότι . Έστω . Τότε και . Έχουμε από το Θεώρημα Euler, άρα και . [Πρέπει αφού .]
Έστω τώρα όπου . Πρέπει να βρούμε ακολουθία ώστε . Ασφαλώς πρέπει και αρκεί να ισχύει επίσης ότι για κάθε .
Θα βρούμε τέτοια ακολουθία η οποία ικανοποιεί το πιο ισχυρό .
Για θέλουμε . Θα δείξουμε ότι ο μας κάνει. Σίγουρα . Άρα για κάποιο . Τότε
Όμως και . Άρα που δίνει . Τότε όμως όπως θέλαμε.
Τώρα προχωράμε επαγωγικά με παρόμοιο τρόπο όπως στο Hensel's lemma.
Έστω ότι έχω . Δοκιμάζω για κάποιο . Τότε
Αφού μπορώ να γράψω . Παίρνω
Έχω πλήρη ελευθερία στην επιλογή του και θέτοντας όπου το αντίστροφο του modulo καταλήγω στο και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: p-adic αριθμών
Ναι χρειαζόμαστε ! Και μία παρόμοια λύση είχα στο μυαλό μου.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες