Σελίδα 1 από 1

p-adic αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 11, 2019 8:22 am
από bouzoukman
Ένα πρόβλημα που προέκυψε μελετώντας κάποια άλλα πράγματα. Έστω p ένας πρώτος αριθμός και \mathbb{Q}_p το σώματα των p-adic αριθμών. Να δείξετε ότι a\in\mathbb{Q}_p είναι μία p-οστη δύναμη αν και μόνο αν a^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}.

Re: p-adic αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 13, 2019 11:20 am
από Demetres
Φαντάζομαι εννοείς a \in \mathbb{Z}_p. Χρειαζόμαστε επίσης τη συνθήκη a \neq 0 \bmod p.

Θα χρησιμοποιήσουμε την αλγεβρική προσέγγιση όπου κάθε x \in \mathbb{Z}_p είναι μια ακολουθία (x_n) με x_n \in \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{p^n} και x_n \equiv x_m \bmod p^m για n \geqslant m.

Ας υποθέσουμε αρχικά ότι a = b^p. Έστω b = (b_n). Τότε a = (b_n^p) και a^{p-1} = (b_n^{p(p-1)}). Έχουμε b_2^{p(p-1)} \equiv 1 \bmod p^2 από το Θεώρημα Euler, άρα και a \equiv 1 \bmod p^2. [Πρέπει b_2 \neq 0 \bmod p αφού a \neq 0 \bmod p.]

Έστω τώρα a = (a_n) όπου a_2^{p-1} \equiv 1 \bmod p^2. Πρέπει να βρούμε ακολουθία (b_n) ώστε b_n^p \equiv a_n \bmod p^n. Ασφαλώς πρέπει και αρκεί να ισχύει επίσης ότι b_{n+1} \equiv b_n \bmod p^n για κάθε n.

Θα βρούμε τέτοια ακολουθία η οποία ικανοποιεί το πιο ισχυρό b_n^p \equiv a_{n+1} \bmod p^{n+1}.

Για n=1 θέλουμε b_1^p \equiv a_2 \bmod p^2. Θα δείξουμε ότι ο b_1 = a_1 μας κάνει. Σίγουρα b_1^p \equiv a_1^p \equiv a_1 \equiv a_2^p. Άρα b_1^p = a_2 + rp για κάποιο r. Τότε

\displaystyle (b_1^p)^{p-1} \equiv (a_2 + rp)^{p-1} \equiv a_2^{p-1} + (p-1)rpa_2 \bmod p^2

Όμως (b_1^p)^{p-1} \equiv 1 \bmod p^2 και a_2^{p-1} \equiv a_2 \equiv 1 \bmod p^2. Άρα (p-1)rpa_2 \equiv 0 \bmod p^2 που δίνει r \equiv 0 \bmod p. Τότε όμως b_1^p = a_2 + rp \equiv 0 \bmod p^2 όπως θέλαμε.

Τώρα προχωράμε επαγωγικά με παρόμοιο τρόπο όπως στο Hensel's lemma.

Έστω ότι έχω b_k^p \equiv a_{k+1} \bmod p^{k+1}. Δοκιμάζω b_{k+1} = b_k + rp^{k+1} για κάποιο r. Τότε

\displaystyle  b_{k+1}^p \equiv (b_k + rp^k)^p \equiv (b_k^p + rb_kp^{k+1}) \bmod p^{k+2}

Αφού b_k^p \equiv a_{k+1} \equiv a_{k+2} \bmod p^{k+1} μπορώ να γράψω b_k^p = a_{k+2} + sp^{k+1}. Παίρνω

\displaystyle  b_{k+1}^p - a_{k+2} \equiv (rb_k+s)p^{k+1} \bmod p^{k+2}

Έχω πλήρη ελευθερία στην επιλογή του r και θέτοντας r = -st όπου t το αντίστροφο του b_k modulo p καταλήγω στο b_{k+1} \equiv a_{k+2} \bmod p^{k+2} και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

Re: p-adic αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 30, 2019 12:10 am
από bouzoukman
Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 11:20 am
Φαντάζομαι εννοείς a \in \mathbb{Z}_p. Χρειαζόμαστε επίσης τη συνθήκη a \neq 0 \bmod p.
Ναι χρειαζόμαστε a \in \mathbb{Z}_p^*! Και μία παρόμοια λύση είχα στο μυαλό μου.