Διοφαντική εξίσωση

Συντονιστής: nkatsipis

Απάντηση
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 125
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
Επικοινωνία:
Επικοινωνία bouzoukman

Διοφαντική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Παρ Απρ 17, 2020 12:52 am

Να αποδειχθεί ότι οι ακέραιες λύσεις της Διοφαντικής εξίσωσης

\displaystyle{ y^2 = x^6 + x^2 + 1, }

είναι (x,y) = (0,\pm 1). Δεν έχω λύση με στοιχειώδη τρόπο και θα με ενδιέφερε να δω αν υπάρχει.

Σύμφωνα με την πηγή μου (δεν το έχω επιβεβαιώσει) αυτή η εξίσωση έχει ένα πολύ ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί αναφέρεται στο πρόβλημα 17 του 6ου βιβλίου της "Αριθμητικής" του Διόφαντου. Σε αυτό το πρόβλημα ο Διόφαντος ασχολείται με x,y\in\mathbb Q και όχι στο \mathbb Z όπως ζητάω εγώ. Αυτό το πρόβλημα είναι μοναδικό σε όλη την "Αριθμητική" του Διόφαντου γιατί είναι η μόνη εξίσωση που αναφέρεται σε γένους μεγαλύτερο του 1 καμπύλες!

ΥΓ: Η περίπτωση x,y\in\mathbb Q λύθηκε μόλις το 1998!


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Λέξεις Κλειδιά:
Διοφαντική
Κορυφή
2nisic
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Δευ Φεβ 08, 2021 8:47 pm

(x^{3})^{2}<x^{6}+x^{2}+1<(x^{3}+1)^{2} για κάθε x διάφορο τού 0


Κορυφή
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 204
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Διοφαντική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Δευ Φεβ 08, 2021 10:15 pm

2nisic έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 08, 2021 8:47 pm
 (x^{3})^{2}<x^{6}+x^{2}+1<(x^{3}+1)^{2} για κάθε x διάφορο τού 0
Νομίζω θέλει μία μικρή διόρθωση
•Αν x>0 τότε (x^3)^2<x^6+x^2+1<(x^3+1)^2
•Αν x<0 τότε (-x^3)^2<x^6+x^2+1<(-x^3+1)^2
•Αν x=0 τότε y= \pm 1


Κορυφή
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 125
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
Επικοινωνία:
Επικοινωνία bouzoukman

Re: Διοφαντική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Τρί Φεβ 09, 2021 8:54 pm

2nisic έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 08, 2021 8:47 pm
 (x^{3})^{2}<x^{6}+x^{2}+1<(x^{3}+1)^{2} για κάθε x διάφορο τού 0
Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 08, 2021 10:15 pm
 Νομίζω θέλει μία μικρή διόρθωση
•Αν x>0 τότε (x^3)^2<x^6+x^2+1<(x^3+1)^2
•Αν x<0 τότε (-x^3)^2<x^6+x^2+1<(-x^3+1)^2
•Αν x=0 τότε y= \pm 1
Ωραία προσέγγιση! :winner_first_h4h:


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης