Το πρόβλημα του Sierpinski

[jas]

Το παρακάτω πρόβλημα προκάλεσε τόσο μεγάλη εντύπωση στον Sierpinski, ώστε τον έκανε να στρέψει, το 1907, το ενδιαφέρον του προς τη Θεωρία Αριθμών:
Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να προσδιοριστεί από έναν μόνο πραγματικό αριθμό.

Από την εισαγωγή του βιβλίου μαθηματικών. Έχω μια υποψία πως το λύνει λάθος, θα ανεβάσω τη λύση του (πάντα βάση του βιβλίου) αν υπάρξει ενδιαφέρον!
ΙΚ.

[Mihalis_Lambrou]

Το παρακάτω πρόβλημα προκάλεσε τόσο μεγάλη εντύπωση στον Sierpinski, ώστε τον έκανε να στρέψει, το 1907, το ενδιαφέρον του προς τη Θεωρία Αριθμών:
Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να προσδιοριστεί από έναν μόνο πραγματικό αριθμό.

Από την εισαγωγή του βιβλίου μαθηματικών. Έχω μια υποψία πως το λύνει λάθος, θα ανεβάσω τη λύση του (πάντα βάση του βιβλίου) αν υπάρξει ενδιαφέρον!
ΙΚ.

Δεν ξέρω πώς λύνει ο Sierpinski το πρόβλημα αλλά να μία λύση. Πριν την δούμε ας προσθέσω ότι το αποτέλεσμα είναι τεριμμένο αν κοιτάξεις πληθαρίθμους.

Δίνω μια πιο χειροπιαστή κατασκευή, αλλά στην πραγματικότητα είναι ακριβώς η ίδια (βλέπε παρακάτω το σχόλιο).

Αρκεί να σου πω πώς θα προσδιορίζεις τα σημεία του με έναν πραγματικό δεκαδικής μορφής (τα υπόλοιπα τετράγωνα τα αριθμούμε και στην θέση του που έγραψα θα θεωρήσουμε τον όπου ο αύξων αριθμός του τετραγώνου).

Το λοιπόν, αν το σημείο του έχει συντεταγμένες με δεκαδικά αναπτύγματα και , το προσδιορίζω με τον αριθμό . Τα υπόλοιπα άμεσα.

Σχόλιο: Δεν βλέπω να έχει σχέση με Θεωρία Αριθμών αυτό. Η σχέση του είναι με τον πληθάριθμο του και το γεγονός ότι ισχύει (μία απόδειξη είναι η παραπάνω αλλά υπάρχει και ευκολότερη παραλλαγή).

Θα ήθελα να έβλεπα τι κάνει ο Sierpiski και ειδικά που μπήκε η Θεωρία Αριθμών. Υποπτεύομαι ότι δεν έχει σχέση η Θεωρία Αριθμών αλλά κάπου μας δίνεις λάθος πληροφορία. Επίσης με τρώει η περιέργεια γιατί έχεις την υποψία ότι ο Sierpinski το λύνει λάθος. Ένας Μαθηματικός την ολκής του Sierpiski δεν μπορεί να κάνει λάθος σε τέτοια θέματα!

[jas]

Το παρακάτω πρόβλημα προκάλεσε τόσο μεγάλη εντύπωση στον Sierpinski, ώστε τον έκανε να στρέψει, το 1907, το ενδιαφέρον του προς τη Θεωρία Αριθμών:
Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να προσδιοριστεί από έναν μόνο πραγματικό αριθμό.

Από την εισαγωγή του βιβλίου μαθηματικών. Έχω μια υποψία πως το λύνει λάθος, θα ανεβάσω τη λύση του (πάντα βάση του βιβλίου) αν υπάρξει ενδιαφέρον!
ΙΚ.

Δεν ξέρω πώς λύνει ο Sierpinski το πρόβλημα αλλά να μία λύση. Πριν την δούμε ας προσθέσω ότι το αποτέλεσμα είναι τεριμμένο αν κοιτάξεις πληθαρίθμους.

Δίνω μια πιο χειροπιαστή κατασκευή, αλλά στην πραγματικότητα είναι ακριβώς η ίδια (βλέπε παρακάτω το σχόλιο).

Αρκεί να σου πω πώς θα προσδιορίζεις τα σημεία του με έναν πραγματικό δεκαδικής μορφής (τα υπόλοιπα τετράγωνα τα αριθμούμε και στην θέση του που έγραψα θα θεωρήσουμε τον όπου ο αύξων αριθμός του τετραγώνου).

Το λοιπόν, αν το σημείο του έχει συντεταγμένες με δεκαδικά αναπτύγματα και , το προσδιορίζω με τον αριθμό . Τα υπόλοιπα άμεσα.

Σχόλιο: Δεν βλέπω να έχει σχέση με Θεωρία Αριθμών αυτό. Η σχέση του είναι με τον πληθάριθμο του και το γεγονός ότι ισχύει (μία απόδειξη είναι η παραπάνω αλλά υπάρχει και ευκολότερη παραλλαγή).

Θα ήθελα να έβλεπα τι κάνει ο Sierpiski και ειδικά που μπήκε η Θεωρία Αριθμών. Υποπτεύομαι ότι δεν έχει σχέση η Θεωρία Αριθμών αλλά κάπου μας δίνεις λάθος πληροφορία. Επίσης με τρώει η περιέργεια γιατί έχεις την υποψία ότι ο Sierpinski το λύνει λάθος. Ένας Μαθηματικός την ολκής του Sierpiski δεν μπορεί να κάνει λάθος σε τέτοια θέματα!

Όχι δεν είναι λάθος ο Sierpinski μάλλον το βιβλίο μου είναι περίεργης έκδοσης, παραθέτω μια κάπως πιο διορθωμένη γραφή βάσει αυτών που αναφέρατε:
Το παρακάτω πρόβλημα προκάλεσε τόσο μεγάλη εντύπωση στον Sierpinski, ώστε τον έκανε να στρέψει, το 1907, το ενδιαφέρον του προς τη Θεωρία Αριθμών:
Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να προσδιοριστεί από έναν μόνο πραγματικό αριθμό.
Η λύση του Walcaw Sierpinski:

Αν οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου του x και y, όπου στο δεκαδικό ανάπτυγμα έχουμε x=x0x1... και y=y0y1... όλη η πληροφορία βρίσκεται στον αριθμό S=0,x0y0x1y1.... Με άλλα λόγια, αν μας δοθεί ο αριθμός s=0,s0s1s2s3..., εμείς προσδιορίζουμε το ζεύγος (x,y) όπου x=s0,s2s4..., y=s1,s3s5... .
Το παρακάτω πρόβλημα προκάλεσε τόσο μεγάλη εντύπωση στον Sierpinski, ώστε τον έκανε να στρέψει, το 1907, το ενδιαφέρον του προς τη Θεωρία Αριθμών:
Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να προσδιοριστεί από έναν μόνο πραγματικό αριθμό.
Η λύση του Walcaw Sierpinski:
Αν οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου του x και y, όπου στο δεκαδικό ανάπτυγμα έχουμε x=x0x1... και y=y0y1... όλη η πληροφορία βρίσκεται στον αριθμό S=0,x0y0x1y1.... Με άλλα λόγια, αν μας δοθεί ο αριθμός s=0,s0s1s2s3..., εμείς προσδιορίζουμε το ζεύγος (x,y) όπου x=s0,s2s4..., y=s1,s3s5... .

Αυτό που δεν είχα καταλάβει ήταν τι γίνεται με έναν αριθμό όπως το 132,3434 πχ που δεν είναι αυτού του τύπου και είχα σκεφτεί πως θα μπορούσε να γραφτεί ως εξής α1α2α3...αν,β1β2β3... , γ1γ2γ3...αμ,δ1δ2δ3... θα τον έγραφα ως κ11...10...0α1α2α3...ανβ1β2β3...βμ,γ1δ1γ2δ2γ3δ3... με το πλήθος των 11..1 να υποδηλώνει το ν και το πλήθος των 00...0 να υποδηλώνει τα μ , ενώ το κ από μπροστά θα ήταν ένας αριθμός κ=1 αν είναι 0,... αριθμός ή κ=2 αν είναι α1α2...,γ1γ2... αντίστοιχα κ=3 ή κ=4 για τους αρνητικούς αυτών.

[Mihalis_Lambrou]

Αυτό που δεν είχα καταλάβει ήταν τι γίνεται με έναν αριθμό όπως το 132,3434 πχ που δεν είναι αυτού του τύπου και είχα σκεφτεί πως θα μπορούσε να γραφτεί ως εξής α1α2α3...αν,β1β2β3... , γ1γ2γ3...αμ,δ1δ2δ3... θα τον έγραφα ως κ11...10...0α1α2α3...ανβ1β2β3...βμ,γ1δ1γ2δ2γ3δ3... με το πλήθος των 11..1 να υποδηλώνει το ν και το πλήθος των 00...0 να υποδηλώνει τα μ , ενώ το κ από μπροστά θα ήταν ένας αριθμός κ=1 αν είναι 0,... αριθμός ή κ=2 αν είναι α1α2...,γ1γ2... αντίστοιχα κ=3 ή κ=4 για τους αρνητικούς αυτών.

Τα παραπάνω είναι προβληματικά ως προς τα Μαθηματικά. Αφήνω τις λεπτομέρειες για να μην εμπλακώ σε ατέρμονα συζήτηση.

Όμως θα επιμείνω στο σχόλιο που έγραψα, συγκεκριμένα πού μπαίνει η Θεωρία Αριθμών; Η μέθοδος Sierpinski που περιγράφεις (που είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτήν που έγραψα) δεν έχει καμία σχέση με την Θεωρία Αριθμών.

Θα σε παρακαλέσω να μας πεις ακριβώς ποια είναι η πηγή σου, δηλαδή ποιο είναι το βιβλίο που επικαλείσαι (συγγραφέας, τίτλος). Θα ήταν χρήσιμο να σκανάρεις (ή να βγάλεις φωτογραφία με κινητό) το σημείο του βιβλίου που λέει τα παραπάνω και να το αναρτήσεις εδώ. Δυστυχώς στο φόρουμ έχουμε δει αρκετές φορές παρανοήσεις των γραφομένων στα βιβλία. Ένα πρόσφατο παράδειγμα είναι εδώ.

Επειδή το φόρουμ είναι ανοικτό σε δημόσια θέα, καλό είναι να μην δίνει λάθος εικόνα. Το οφείλουμε στους αναγνώστες που είναι στην διαδικασία μάθησης βασικών Μαθηματικών, οπότε το τελευατίο που επιθυμούμε είναι να τους επιφέρουμε σύγχυση ιδεών.

Περιμένω με ανυπομονησία τα παραπάνω.

[jas]

Αυτό που δεν είχα καταλάβει ήταν τι γίνεται με έναν αριθμό όπως το 132,3434 πχ που δεν είναι αυτού του τύπου και είχα σκεφτεί πως θα μπορούσε να γραφτεί ως εξής α1α2α3...αν,β1β2β3... , γ1γ2γ3...αμ,δ1δ2δ3... θα τον έγραφα ως κ11...10...0α1α2α3...ανβ1β2β3...βμ,γ1δ1γ2δ2γ3δ3... με το πλήθος των 11..1 να υποδηλώνει το ν και το πλήθος των 00...0 να υποδηλώνει τα μ , ενώ το κ από μπροστά θα ήταν ένας αριθμός κ=1 αν είναι 0,... αριθμός ή κ=2 αν είναι α1α2...,γ1γ2... αντίστοιχα κ=3 ή κ=4 για τους αρνητικούς αυτών.

Τα παραπάνω είναι προβληματικά ως προς τα Μαθηματικά. Αφήνω τις λεπτομέρειες για να μην εμπλακώ σε ατέρμονα συζήτηση.

Όμως θα επιμείνω στο σχόλιο που έγραψα, συγκεκριμένα πού μπαίνει η Θεωρία Αριθμών; Η μέθοδος Sierpinski που περιγράφεις (που είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτήν που έγραψα) δεν έχει καμία σχέση με την Θεωρία Αριθμών.

Θα σε παρακαλέσω να μας πεις ακριβώς ποια είναι η πηγή σου, δηλαδή ποιο είναι το βιβλίο που επικαλείσαι (συγγραφέας, τίτλος). Θα ήταν χρήσιμο να σκανάρεις (ή να βγάλεις φωτογραφία με κινητό) το σημείο του βιβλίου που λέει τα παραπάνω και να το αναρτήσεις εδώ. Δυστυχώς στο φόρουμ έχουμε δει αρκετές φορές παρανοήσεις των γραφομένων στα βιβλία. Ένα πρόσφατο παράδειγμα είναι εδώ.

Επειδή το φόρουμ είναι ανοικτό σε δημόσια θέα, καλό είναι να μην δίνει λάθος εικόνα. Το οφείλουμε στους αναγνώστες που είναι στην διαδικασία μάθησης βασικών Μαθηματικών, οπότε το τελευατίο που επιθυμούμε είναι να τους επιφέρουμε σύγχυση ιδεών.

Περιμένω με ανυπομονησία τα παραπάνω.

Ναι φυσικά, το βιβλίο είναι των εκδόσεων (στα Ελληνικά φυσικά) κάτοπτρο του Walcaw Sierpinski, είναι στο εσωτερικό μέρος του εξωφύλλου ακριβώς αυτό που έγραψα πιο πάνω , ο τίτλος 250 προβλήματα της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών , τη διεθνή έκδοση δε την έχω κοιτάξει αλλά υπάρχει στο zlibrary

[Τσιαλας Νικολαος]

Το βιβλίο αυτό το έχει επιμεληθεί ο κυριος Μιχάλης και τυγχάνει να το έχω και εγώ γιατί έχει εξαιρετικές ασκήσεις! Δεν το έχω όμως αυτή τη στιγμή μαζί μου όποτε θα πρέπει να το τσεκάρει ο κυριος Μιχάλης! Καλημέρα σε όλους!

[ksofsa]

Καλησπέρα σε όλους!

Σύμφωνα με τη Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Wacław_Sierpiński), το εν λόγω πρόβλημα ήταν αφορμή για να δείξει ενδιαφέρον ο Sierpinski για τη θεωρία συνόλων (set theory).

Μεταφέρω το αντίστοιχο απόσπασμα από τον προαναφερθέντα σύνδεσμο:

"In 1907 Sierpiński first became interested in set theory when he came across a theorem which stated that points in the plane could be specified with a single coordinate. He wrote to Tadeusz Banachiewicz (then at Göttingen), asking how such a result was possible. He received the one-word reply 'Cantor'. Sierpiński began to study set theory and, in 1909, he gave the first ever lecture course devoted entirely to the subject. "

Επίσης, θα συμφωνήσω κι εγώ ότι είναι εξαιρετικό το συγκεκριμένο βιβλίο του Sierpinski !

[Mihalis_Lambrou]

Ναι φυσικά, το βιβλίο είναι των εκδόσεων (στα Ελληνικά φυσικά) κάτοπτρο του Walcaw Sierpinski, είναι στο εσωτερικό μέρος του εξωφύλλου ακριβώς αυτό που έγραψα πιο πάνω , ο τίτλος 250 προβλήματα της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών , τη διεθνή έκδοση δε την έχω κοιτάξει αλλά υπάρχει στο zlibrary

Έχεις δίκιο, έτσι ακριβώς γράφει το εσωτερικό του εξωφύλλου της ελληνικής έκδοσης. Είναι πάντως λάθος γιατί έπρεπε να γράφει "Θεωρία Συνόλων" και όχι "Θεωρία Αριθμών". Επίσης η απόδειξη έχει ένα μικρό πρόβλημα.

Ας προσθέσω ότι, τουλάχιστον στο αντίτυπο που έχω, το παραπάνω χωρίο δεν υπάρχει στο αγγλικό πρωτότυπο.

Το βιβλίο αυτό το έχει επιμεληθεί ο κυριος Μιχάλης και τυγχάνει να το έχω και εγώ γιατί έχει εξαιρετικές ασκήσεις! Δεν το έχω όμως αυτή τη στιγμή μαζί μου όποτε θα πρέπει να το τσεκάρει ο κυριος Μιχάλης! Καλημέρα σε όλους!

Σωστά. Φαίνεται ότι όταν έκανα την επιμέλεια του υπέροχου αυτού βιβλίου (και της εξαιρετικής του μετάφρασης από τον Στρατή Μάκρα) δεν έλαβα και την παράγραφο στο εξώφυλλο. Πιθανότατα να μπήκε αργότερα, επί του πιεστηρίου. Αλλιώς θα το είχα δει, και διορθώσει.

"In 1907 Sierpiński first became interested in set theory when he came across a theorem which stated that points in the plane could be specified with a single coordinate. He wrote to Tadeusz Banachiewicz (then at Göttingen), asking how such a result was possible. He received the one-word reply 'Cantor'. Sierpiński began to study set theory and, in 1909, he gave the first ever lecture course devoted entirely to the subject. "

Μάλλον από εκεί ή από ανάλογη πηγή πήρε ο εκδότης την πληροφορία και την απέδωσε κάπως προβληματικά. Θα ενημερώσω τον εκδότη, ο οποίος έχει βγάλει καταπληκτικά και πάρα πολύ προσεγμένα βιβλία, να το διορθώσει σε πιθανή επανέκδοση.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΟΛΟΥΣ ΟΣΟΥΣ ΑΣΧΟΛΗΘΗΚΑΝ.