Πλήθος σημείων καμπύλης

bouzoukman · #1

Έστω πρώτος $p\equiv 3\pmod{4}$ . Έστω η ελλειπτική καμπύλη

$\displaystyle{ E:~y^2=x^3 + x, }$

πάνω από το $\mathbb{F}_p$ . Να δειχθεί ότι $\#E(\mathbb{F}_p)=p+1$ (συμπεριλαμβανομένου του σημείου στο άπειρο!).

ΥΓ: Με αφορμή μία ερώτηση εδώ.

#2

Έστω

.

Για κάθε $x \in \mathbb{F}_p^{\ast}$ , έχουμε $f(x) = x(x^2+1) \neq 0$ αφού $p \equiv 3 \bmod 4$ και επομένως $x^2 \neq -1$ . Επιπλέον, αφού f(-x) = -f(x)

, ακριβώς ένα από τα f(x),f(-x)

θα είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό μας δίνει δύο σημεία πάνω στην καμπύλη. Συνολικά παίρνουμε p-1

σημεία αφού έχουμε (p-1)/2

διαφορετικά ζεύγη $\{x,-x\}$ με $x \neq 0$ και κάθε ζεύγος δίνει δύο σημεία. Τέλος έχουμε ακόμη ένα σημείο για x=0

και ακόμη ένα σημείο στο άπειρο.

bouzoukman · #3

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 02, 2020 3:45 pm
Έστω .

Για κάθε $x \in \mathbb{F}_p^{\ast}$ , έχουμε $f(x) = x(x^2+1) \neq 0$ αφού $p \equiv 3 \bmod 4$ και επομένως $x^2 \neq -1$ . Επιπλέον, αφού , ακριβώς ένα από τα θα είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό μας δίνει δύο σημεία πάνω στην καμπύλη. Συνολικά παίρνουμε σημεία αφού έχουμε διαφορετικά ζεύγη $\{x,-x\}$ με $x \neq 0$ και κάθε ζεύγος δίνει δύο σημεία. Τέλος έχουμε ακόμη ένα σημείο για και ακόμη ένα σημείο στο άπειρο.

Τέλεια!

Πλήθος σημείων καμπύλης

Πλήθος σημείων καμπύλης

Re: Πλήθος σημείων καμπύλης

Re: Πλήθος σημείων καμπύλης

Μέλη σε σύνδεση