Κυβική επέκταση του Q

bouzoukman · #1

Έστω το σώμα αριθμών $K=\mathbb{Q}(\theta)$ όπου $\theta^3 + \theta^2 - 4\theta + 1=0$ . Να αποδειχθούν τα παρακάτω:

$[K:\mathbb{Q}]=3$ .
Η επέκταση $K/\mathbb{Q}$ είναι Galois.
Ένα πρώτος $p\in\mathbb{Z}$ splits completely (διασπάται πλήρως(;)) σε γινόμενο πρώτων ιδεωδών στο $\mathcal{O}_K$ αν και μόνο αν $p\equiv 1, 5, 8, 12\pmod{13}$ .

stranger · #2

Ίσως κάτι δεν βλέπω. Κάθε ιδεώδες γράφεται ως γινόμενο πρώτων ιδεωδών, άρα και το <p>

.

bouzoukman · #3

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 29, 2020 8:15 pm
Ίσως κάτι δεν βλέπω. Κάθε ιδεώδες γράφεται ως γινόμενο πρώτων ιδεωδών, άρα και το .

Σωστός! Για κάποια πράγματα δεν ξέρω την ελληνική ορολογία. Αυτό που θέλω να πω είναι ότι ο '

splits completely'.

bouzoukman · #4

Θα δώσω απάντηση μέσα στο Σαββατοκύριακο εκτός κι αν κάποιος την προσπαθεί ακόμη.

bouzoukman · #5

Ας δώσω τη λύση για το πρώτο και τα υπόλοιπα που είναι πιο εκτενή αργότερα.

1) Επειδή το πολυώνυμο f(x)=x^3 + x^2 -4x + 1

είναι τρίτου βαθμού είναι αρκετό να δείξουμε ότι δεν έχει ρίζα στο $\mathbb{Q}$ (σχετικά γνωστή πρόταση!). Έστω $r=a/b\in\mathbb{Q}$ , με (a,b)=1

και

, μία ρίζα του f(x)

. Τότε ισχύει

$\displaystyle{ f(r)=0\Rightarrow a^3 + a^2b-3ab^2+b^3=0. }$

Αν $b\neq 1$ τότε από την τελευταία ισότητα έχουμε ότι οποιοδήποτε πρώτος

που διαιρεί το

διαιρεί το

που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι (a,b)=1

. Άρα

και $a\in\mathbb{N}$ . Πάλι από την σχέση

$\displaystyle{ a^3 + a^2-3a+1=0, }$

καταλαβαίνουμε ότι $a\mid 1$ άρα $a=\pm 1$ . Εφόσον f(1)=-1

και

το

δεν έχει ρίζες στο $\mathbb{Q}$ άρα είναι ανάγωγο. Οπότε $[K:\mathbb{Q}]=3$ .

bouzoukman · #6

Χρόνια πολλά κι από εμένα! Ας γράψω και τις λύσεις για τα άλλα δύο ερωτήματα τώρα που βρήκα χρόνο μέσα στις γιορτές.

2) Έστω $\rho_1, \rho_2, \rho_3$ οι τρεις ρίζες του f(x)

. Ορίζουμε $L=\mathbb{Q}(\rho_1,\rho_2,\rho_3)$ , τότε από Θεωρία Galois γνωρίζουμε ότι η επέκταση $L/\mathbb{Q}$ είναι Galois και από το ερώτημα (1) έχουμε ότι $G_L:=Gal(L/\mathbb{Q})=C_3$ ή S_3

. Ας υποθέσουμε ότι G_L=S_3

, τότε η ποσότητα

$\displaystyle{ \delta=\prod_{1\leq i,j\leq 3}(\rho_i-\rho_j), }$

δεν παραμένει σταθερή κάτω από τη δράση της G_L

, άρα $\delta\not\in\mathbb{Q}$ . Οπότε $\delta^2\not\in\mathbb{Q}^2$ . Όμως από τον ορισμό της ορίζουσας του

έχουμε ότι $\Delta(f)=\delta^2$ . Από γνωστούς τύπους (ή με χρήση υπολογιστή όπως εγώ) βλέπουμε ότι $\Delta(f)=13^2$ , πράγμα που αναιρεί το γεγονός ότι $\delta\not\in\mathbb{Q}$ . Επομένως καταλήγουμε ότι G_L=C_3

και

, άρα $K/\mathbb{Q}$ είναι Galois.

3) Εφόσον $K/\mathbb{Q}$ είναι Galois, $[K:\mathbb{Q}]=3$ και $\Delta(f)=13^2$ καταλαβαίνουμε ότι $K\subset\mathbb{Q}(\zeta_{13})$ . Έστω $G=Gal(\mathbb{Q}(\zeta_{13})/\mathbb{Q})\simeq (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^*$ και $H=<5>\subset G$ . Επειδή η τάξη της

είναι

καταλαβαίνουμε από θεωρία Galois ότι $\mathbb{Q}(\zeta_{13})^H=K$ . Από γνωστό θεώρημα για τα κυκλοτομικά σώματα αριθμών έχουμε ότι ένας πρώτος $p\in\mathbb{Q}$ παραγοντοποιείται σε γινόμενο τριών πρώτων ιδεωδών στο

αν και μόνο αν $p\pmod{13}\in H$ . Επειδή $H=\{1,5,8,12\}$ έχουμε το ζητούμενο.

Κυβική επέκταση του Q

Κυβική επέκταση του Q

Re: Κυβική επέκταση του Q

Re: Κυβική επέκταση του Q

Re: Κυβική επέκταση του Q

Re: Κυβική επέκταση του Q

Re: Κυβική επέκταση του Q

Μέλη σε σύνδεση