- .
- Η επέκταση είναι Galois.
- Ένα πρώτος splits completely (διασπάται πλήρως(;)) σε γινόμενο πρώτων ιδεωδών στο αν και μόνο αν .
Κυβική επέκταση του Q
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Κυβική επέκταση του Q
Έστω το σώμα αριθμών όπου . Να αποδειχθούν τα παρακάτω:
τελευταία επεξεργασία από bouzoukman σε Πέμ Δεκ 10, 2020 2:32 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κυβική επέκταση του Q
Ίσως κάτι δεν βλέπω. Κάθε ιδεώδες γράφεται ως γινόμενο πρώτων ιδεωδών, άρα και το .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Κυβική επέκταση του Q
Σωστός! Για κάποια πράγματα δεν ξέρω την ελληνική ορολογία. Αυτό που θέλω να πω είναι ότι ο ' splits completely'.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Κυβική επέκταση του Q
Θα δώσω απάντηση μέσα στο Σαββατοκύριακο εκτός κι αν κάποιος την προσπαθεί ακόμη.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Κυβική επέκταση του Q
Ας δώσω τη λύση για το πρώτο και τα υπόλοιπα που είναι πιο εκτενή αργότερα.
1) Επειδή το πολυώνυμο είναι τρίτου βαθμού είναι αρκετό να δείξουμε ότι δεν έχει ρίζα στο (σχετικά γνωστή πρόταση!). Έστω , με και , μία ρίζα του . Τότε ισχύει
Αν τότε από την τελευταία ισότητα έχουμε ότι οποιοδήποτε πρώτος που διαιρεί το διαιρεί το που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι . Άρα και . Πάλι από την σχέση
καταλαβαίνουμε ότι άρα . Εφόσον και το δεν έχει ρίζες στο άρα είναι ανάγωγο. Οπότε .
1) Επειδή το πολυώνυμο είναι τρίτου βαθμού είναι αρκετό να δείξουμε ότι δεν έχει ρίζα στο (σχετικά γνωστή πρόταση!). Έστω , με και , μία ρίζα του . Τότε ισχύει
Αν τότε από την τελευταία ισότητα έχουμε ότι οποιοδήποτε πρώτος που διαιρεί το διαιρεί το που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι . Άρα και . Πάλι από την σχέση
καταλαβαίνουμε ότι άρα . Εφόσον και το δεν έχει ρίζες στο άρα είναι ανάγωγο. Οπότε .
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Κυβική επέκταση του Q
Χρόνια πολλά κι από εμένα! Ας γράψω και τις λύσεις για τα άλλα δύο ερωτήματα τώρα που βρήκα χρόνο μέσα στις γιορτές.
2) Έστω οι τρεις ρίζες του . Ορίζουμε , τότε από Θεωρία Galois γνωρίζουμε ότι η επέκταση είναι Galois και από το ερώτημα (1) έχουμε ότι ή . Ας υποθέσουμε ότι , τότε η ποσότητα
δεν παραμένει σταθερή κάτω από τη δράση της , άρα . Οπότε . Όμως από τον ορισμό της ορίζουσας του έχουμε ότι . Από γνωστούς τύπους (ή με χρήση υπολογιστή όπως εγώ) βλέπουμε ότι , πράγμα που αναιρεί το γεγονός ότι . Επομένως καταλήγουμε ότι και , άρα είναι Galois.
3) Εφόσον είναι Galois, και καταλαβαίνουμε ότι . Έστω και . Επειδή η τάξη της είναι καταλαβαίνουμε από θεωρία Galois ότι . Από γνωστό θεώρημα για τα κυκλοτομικά σώματα αριθμών έχουμε ότι ένας πρώτος παραγοντοποιείται σε γινόμενο τριών πρώτων ιδεωδών στο αν και μόνο αν . Επειδή έχουμε το ζητούμενο.
2) Έστω οι τρεις ρίζες του . Ορίζουμε , τότε από Θεωρία Galois γνωρίζουμε ότι η επέκταση είναι Galois και από το ερώτημα (1) έχουμε ότι ή . Ας υποθέσουμε ότι , τότε η ποσότητα
δεν παραμένει σταθερή κάτω από τη δράση της , άρα . Οπότε . Όμως από τον ορισμό της ορίζουσας του έχουμε ότι . Από γνωστούς τύπους (ή με χρήση υπολογιστή όπως εγώ) βλέπουμε ότι , πράγμα που αναιρεί το γεγονός ότι . Επομένως καταλήγουμε ότι και , άρα είναι Galois.
3) Εφόσον είναι Galois, και καταλαβαίνουμε ότι . Έστω και . Επειδή η τάξη της είναι καταλαβαίνουμε από θεωρία Galois ότι . Από γνωστό θεώρημα για τα κυκλοτομικά σώματα αριθμών έχουμε ότι ένας πρώτος παραγοντοποιείται σε γινόμενο τριών πρώτων ιδεωδών στο αν και μόνο αν . Επειδή έχουμε το ζητούμενο.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης