Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

Συντονιστής: nkatsipis

pierro zachareas
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 03, 2020 10:37 am

Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pierro zachareas » Πέμ Δεκ 03, 2020 11:13 am

Είμαι φοιτητής πληροφορικής και καθώς υλοποιούσα αλγόριθμο εύρεσης αριθμών βαμπίρ (Vampire numbers), παρατήρησα πως στο εύρος που έτρεξα τον κώδικα μου 0 ~ 3000000000, δεν υπάρχει αριθμός βαμπίρ για τον οποίο (vampirenumber + 1) modulo 3 = 0. Δεν γνώριζω, πως θα μπορούσε κάτι τέτοιο να αποδειχθεί, και επομένως έκανα μια (μπακαλίστικη) προσπάθεια να συντάξω ένα .pdf με την παραπάνω εικασία σε πιο μαθηματική μορφή, με την ελπίδα πως κάποιο άτομο με περισσότερες γνώσεις θα μπορούσε να του ρίξει μια ματιά.
Συνημμένα
eikasia.pdf
(24.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 48 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 03, 2020 12:05 pm

pierro zachareas έγραψε:
Πέμ Δεκ 03, 2020 11:13 am
Είμαι φοιτητής πληροφορικής και καθώς υλοποιούσα αλγόριθμο εύρεσης αριθμών βαμπίρ (Vampire numbers), παρατήρησα πως στο εύρος που έτρεξα τον κώδικα μου 0 ~ 3000000000, δεν υπάρχει αριθμός βαμπίρ για τον οποίο (vampirenumber + 1) modulo 3 = 0. Δεν γνώριζω, πως θα μπορούσε κάτι τέτοιο να αποδειχθεί, και επομένως έκανα μια (μπακαλίστικη) προσπάθεια να συντάξω ένα .pdf με την παραπάνω εικασία σε πιο μαθηματική μορφή, με την ελπίδα πως κάποιο άτομο με περισσότερες γνώσεις θα μπορούσε να του ρίξει μια ματιά.
Σωστό αλλά και απλό να αποδειχθεί.

Για αυτούς που δεν τους έχουν ακούσει, οι αριθμοί vampire είναι γινόμενα δύο αριθμών που, οι δύο μαζί, έχουν ακριβώς τα ίδια ψηφία με τον αρχικό. Για παράδειγμα 1260=21\times 60 και 1395 = 15\times  93.

Τώρα, από το κριτήριο διαιρετότητας του 3, οι αριθμοί vampire έχουν την ιδιότητα s(ab)=s(a)+s(b), όπου με s συμβολίζω το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού (άμεσο αφού το γινόμενο χρησιμοποιεί ακριβώς τα ίδια ψηφία). Αν λοιπόν ο ab ήταν της μορφής ab= 3n+2 (αυτό γράφει παραπάνω, με κόκκινο, αλλά σε ισοδύναμη μορφή) τότε από την σχέση θα είχαμε 3n+2=s(a)+s(b) η οποία θα έδινε, χωρίς βλάβη, ότι είτε (ι) s(a)=3m,\, s(b)=3k+2 ή (ιι) s(a)=3m+1, s(b)=3k+1. Αλλά τότε

(ι) ab = (3m)(3k+2)= 3p \ne 3n+2 ή

(ιι) s(ab) = (3m+1)(3k+1)= 3p+1\ne 3n+2

Τα δύο δίνουν το ζητούμενο.


pierro zachareas
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 03, 2020 10:37 am

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pierro zachareas » Πέμ Δεκ 03, 2020 12:41 pm

Το κατάλαβα, σας ευχαριστώ για την αναλυτική απάντηση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 03, 2020 11:21 pm

pierro zachareas έγραψε:
Πέμ Δεκ 03, 2020 11:13 am
δεν υπάρχει αριθμός βαμπίρ για τον οποίο (vampirenumber + 1) modulo 3 = 0.
Να το βελτιώσουμε, αν και δεν αμφιβάλλω ότι είναι γνωστό λόγω της απλότητάς του:

Δείξτε ότι όλοι οι αριθμοί vampire είναι είτε της μορφής 9n είτε της 9n+4.

H απόδειξη είναι στο ίδιο μήκος κύματος με τον παραπάνω συλλογισμό, αλλά με περισσότερη δουλειά λόγω περιπτωσιολογίας.

Αν ο θεματοθέτης pierro zachareas το ήξερε αυτό, θα είναι γλυτώσει το 80% των αριθμών που έψαξε με το πρόγραμμά του, αφού μόνο 2 σε κάθε 10 διαδοχικούς αριθμούς έχουν ελπίδα να είναι vampire.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8615
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Δεκ 04, 2020 11:40 am

Να προσπαθήσω να αποφύγω την περιπτωσιολογία:

Αν ab \equiv k \bmod 9 τότε και a+b \equiv k \bmod 9. Επομένως τα a,b είναι ρίζες της x^2 - kx + k modulo 9. Άρα είναι ρίζες και της 4x^2 - 4kx + 4k. Επειδή 4x^2 - 4kx + 4k = (2x-k)^2 + 4k-k^2, τότε το k^2 - 4k = (k-2)^2-4 είναι τέλειο τετράγωνο modulo 9. Τα τέλεια τετράγωνα modulo 9 είναι τα 0,1,4,7. Τα μόνα που διαφέρουν κατά 4 (modulo 9) είναι τα 0,4. Δηλαδή πρέπει (k-2)^2 \equiv 4 \bmod 9 που δίνει k \equiv 0,4 \bmod 9.


bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
Επικοινωνία:

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Δευ Δεκ 07, 2020 4:54 pm

Γνωρίζει κανείς ποια η χρησιμότητα αυτών των αριθμών; Εγώ που κοίταξα στη wikipedia δεν μπόρεσα να βρω κάτι.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες