Fibonacci, what else?
Συντονιστής: nkatsipis
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Fibonacci, what else?
Έστω ο - οστός αριθμός Fibonacci. Να δειχθεί ότι:
όπου .
όπου .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Fibonacci, what else?
Θα αποδείξω το μισό και το άλλο θα το προσπαθήσω αύριο. Έστω και . Τότε είναι γνωστό ότι . Έστω , τότε έχουμε ότι και . Επομένως ισχύει ότι
όπου . Οπότε έχουμε αποδείξει ότι , ομοίως έχουμε ότι . Επομένως, .
όπου . Οπότε έχουμε αποδείξει ότι , ομοίως έχουμε ότι . Επομένως, .
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Fibonacci, what else?
Χρόνια πολλά και καλή χρονιά κι από εμένα! Δυστυχώς δεν βρήκα κάποια απόδειξη για το άλλο μισό χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδη θεωρία αριθμών! Όποιος έχει μία με χαρά θα ήθελα να την δω.
Με τον συμβολισμό όπως στο παραπάνω post έστω , τότε ισχύει και . Δουλεύοντας τώρα πάνω από το δακτύλιο των ακεραίων του , που είναι ο , προκύπτει ότι
Εφόσον , ισχύει ότι για κάποια . Από τις παραπάνω δύο σχέσεις καταλαβαίνουμε ότι ισχύει (κάποιος πρέπει να είναι προσεκτικός εδώ και να δείξει ότι τα είναι πρώτα με το )
Από την τελευταία σχέση βγαίνει το συμπέρασμα ότι . Εφόσον έχουμε αποδείξει, στο προηγούμενο post, ότι το ζητούμενο έπεται!
Απορία/Ερώτηση: Μιας και η ακολουθία Fibonacci ανήκει στην οικογέγεια των Lucas ακολουθιών, γεννιέται το ερώτημα αν η παραπάνω ιδιότητα ισχύει για όλες τις Lucas ακολουθίες;
Με τον συμβολισμό όπως στο παραπάνω post έστω , τότε ισχύει και . Δουλεύοντας τώρα πάνω από το δακτύλιο των ακεραίων του , που είναι ο , προκύπτει ότι
Εφόσον , ισχύει ότι για κάποια . Από τις παραπάνω δύο σχέσεις καταλαβαίνουμε ότι ισχύει (κάποιος πρέπει να είναι προσεκτικός εδώ και να δείξει ότι τα είναι πρώτα με το )
Από την τελευταία σχέση βγαίνει το συμπέρασμα ότι . Εφόσον έχουμε αποδείξει, στο προηγούμενο post, ότι το ζητούμενο έπεται!
Απορία/Ερώτηση: Μιας και η ακολουθία Fibonacci ανήκει στην οικογέγεια των Lucas ακολουθιών, γεννιέται το ερώτημα αν η παραπάνω ιδιότητα ισχύει για όλες τις Lucas ακολουθίες;
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Fibonacci, what else?
Ένας στοιχειώδης τρόπος για το άλλο μισό:
Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα . (Αποδεικνύεται εύκολα από τον τύπο που παρέθεσε ο Bouzouman. Ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε ακεραίους , όχι απαραίτητα φυσικούς.)
Από τον τύπο παρατηρούμε ότι . Επαγωγικά βρίσκουμε και ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους . Άρα ισχύει και που είναι και το ζητούμενο.
Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα . (Αποδεικνύεται εύκολα από τον τύπο που παρέθεσε ο Bouzouman. Ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε ακεραίους , όχι απαραίτητα φυσικούς.)
Από τον τύπο παρατηρούμε ότι . Επαγωγικά βρίσκουμε και ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους . Άρα ισχύει και που είναι και το ζητούμενο.
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Fibonacci, what else?
Καλησπέρα σας! Δεν είμαι σίγουρος ότι από τον τύπο μπορούμε να αποδείξουμε το παραπάνω. Αυτό που παίρνουμε είναι ότι . Παρόλα αυτά, η ιδέα να επεκτείνουμε τον τύπο και για αρνητικές τιμές του νομίζω ότι είναι αρκετό (και πάρα πολύ καλή ιδέα!).
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Fibonacci, what else?
Σαφώς και έχεις δίκαιο.bouzoukman έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 03, 2021 10:26 pmΚαλησπέρα σας! Δεν είμαι σίγουρος ότι από τον τύπο μπορούμε να αποδείξουμε το παραπάνω. Αυτό που παίρνουμε είναι ότι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες