Συνάρτηση ζ

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Συνάρτηση ζ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Φεβ 11, 2021 7:38 pm

Έστω η συνάρτηση \zeta του Riemann ορισμένη στο (1,+\infty).
Να δείξετε ότι αν s>1 τότε \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k^{s+1}}.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13338
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση ζ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 11, 2021 8:01 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Φεβ 11, 2021 7:38 pm
Έστω η συνάρτηση \zeta του Riemann ορισμένη στο (1,+\infty).
Να δείξετε ότι αν s>1 τότε \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k^{s+1}}.
Είναι σχεδόν τετριμμένο. Με αλλαγή της σειράς άθροισης (επιτρέπεται από την απόλυτη σύγκλιση) η παράσταση ισούται

\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{k^{s+1}}  =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{s+1}}   =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}} = \zeta (s)  }


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνάρτηση ζ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Φεβ 11, 2021 9:17 pm

Κύριε Λάμπρου ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας.
Μπορείτε να δικαιολογήσετε πως αλλάζετε τη σειρά άθροισης;
Η ζητούμενη προς απόδειξη ταυτότητα αθροίζει όλα τα τελικά τμήματα της σειράς της συνάρτησης \zeta.
Ευχαριστώ.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13338
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση ζ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 11, 2021 10:41 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Φεβ 11, 2021 9:17 pm
Μπορείτε να δικαιολογήσετε πως αλλάζετε τη σειρά άθροισης;
Η ζητούμενη προς απόδειξη ταυτότητα αθροίζει όλα τα τελικά τμήματα της σειράς της συνάρτησης \zeta.
Ευχαριστώ.
Mα είναι άμεσο και κοινότυπο. Με λίγα λόγια, η αρχική σειρά αθροίζει οριζόντια και η τελική κάθετα τους ίδιους όρους. Εδώ είναι της μορφής

\displaystyle{ \begin{matrix} 
 a_1&a_2  & a_3 &  a_4& a_5\,...\\  
 &  a_2&  a_3& a_4 & a_5\,...\\  
 &  &  a_3&  a_4&a_5\,... \\  
 &  &  &  a_4& a_5\,... 
\end{matrix}}

Στην δεύτερη δεν υπάρχουν τελικά τμήματα. Η κάθετη άθροιση έχει k προσθετέους καθώς τρέχει το k.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνάρτηση ζ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Φεβ 11, 2021 10:45 pm

Ωραία εξήγηση.
Ευχαριστώ πολύ.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης