Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

Συντονιστής: nkatsipis

jimangel2001
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 13, 2021 9:48 pm

Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jimangel2001 » Πέμ Μάιος 13, 2021 9:53 pm

Θέλω να αποδείξω ότι:

\displaystyle{\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}j^{n-2}(-1)^{n-j+1} = 0}

Η λάθος απόδειξη μου είναι:

\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}j^{n-2}(-1)^{n-j+1} = \sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^jj^{n-2}(-1)^{n-j}(-1)  
=-\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j}j^{n-2}

Ξέρουμε ότι:

(\forall x,y \in R)(\forall n \in N) (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}

Συνεπώς:

\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j} = (1-1)^n = 0

Καί

\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j}j^{n-2} \leq \sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j}n^{n-2} \\ 
= n^{n-2}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j} \\ 
= 0

Και

 
\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j}j^{n-2}  
= \sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j}j^{n-2} \\ 
\geq \sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j}1^{n-2} \\ 
= 1\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j} \\ 
= 0

Συνεπώς

0 \leq \sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j}j^{n-2} \leq 0 \Rightarrow \\ 
\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}1^j(-1)^{n-j}j^{n-2} = 0

Καί

\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}j^{n-2}(-1)^{n-j+1} = 0

Μετά συνειδητοποίησα ότι δε γίνονται οι συγκρίσεις λόγω του: (-1)^n

Μπορώ να το αποδείξω και για περιττούς αλλά όχι για άρτιους n

Έχετε κάποια άλλη ιδέα;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4615
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 13, 2021 11:03 pm

Έχω μια ιδέα να περάσουμε απο μιγαδικούς την οποία θα τεστάρω αυριο !! Αν θες ριξε μια ματιά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13365
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 14, 2021 1:43 am

jimangel2001 έγραψε:
Πέμ Μάιος 13, 2021 9:53 pm
Θέλω να αποδείξω ότι:

\displaystyle{\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}j^{n-2}(-1)^{n-j+1} = 0}
Είναι αρκετά απλό αν το δεις σωστά, γι' αυτό θα σου δώσω μόνο υπόδειξη. Μάλιστα μπορούμε να κάνουμε ουσιαστική γενίκευση δείχνοντας ότι ισχύει

\displaystyle{\displaystyle{\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}j^{k}(-1)^{n-j+1} = 0} για όλους τους φυσικούς k με 0\le k \le n-1.

Υπόδειξη: Επαγωγή ως προς n και χρήση για το πέρασμα από το n στο n+1 της ταυτότητας

\displaystyle{\binom{n+1}{j}j^k = (n+1)\binom{n}{j-1}j^{k-1} }.

Το j^{k-1} =(j-1+1)^{k-1} θα χρειαστεί να το αναπτύξεις με χρήση του διωνύμου που ουσιαστικά σημαίνει ότι γράφεις το j^{k-1} ως γραμμικό συνδυασμό ως προς των 1, \, j-1,\, (j-1)^2,\, ... \,(j-1)^{k-1}

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου με βάση τα παραπάνω.


jimangel2001
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 13, 2021 9:48 pm

Re: Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jimangel2001 » Παρ Μάιος 14, 2021 12:42 pm

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση,

Προσπάθησα να εφαρμόσω αυτά που μου υποδείξατε και ως ειδική και ως γενική λύση όμως μάλλον κολλάω στο τελευταίο μέρος με τον γραμμικό συνδυασμό, όπου μου εμφανιζεται διπλή σούμα και δε μπορώ να τη διαχειριστώ στη προκειμένη.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13365
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 14, 2021 3:52 pm

jimangel2001 έγραψε:
Παρ Μάιος 14, 2021 12:42 pm
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση,

Προσπάθησα να εφαρμόσω αυτά που μου υποδείξατε και ως ειδική και ως γενική λύση όμως μάλλον κολλάω στο τελευταίο μέρος με τον γραμμικό συνδυασμό, όπου μου εμφανιζεται διπλή σούμα και δε μπορώ να τη διαχειριστώ στη προκειμένη.
Μα αυτό είναι το εύκολο μέρος της άσκησης, και ουσιαστικά το έχω κάνει λιανά παραπάνω. Το επαναλαμβάνω:

"\displaystyle{j^{k-1} =(j-1+1)^{k-1}} θα χρειαστεί να το αναπτύξεις με χρήση του διωνύμου"

Με απλά λόγια και πλατειασμό: \displaystyle{ (j-1+1)^{k-1} = [(j-1)+1]^{k-1} = (a+1) ^ {k-1}}. Συνέχισε.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 244
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Μάιος 19, 2021 12:11 pm

Καλημέρα!

Θα ήθελα να βάλω μια παρένθεση στη συζήτηση, παραπέμποντας σε ένα σχετικό άρθρο.

Στο τεύχος του περιοδικού Crux Mathematicorum του Ιανουαρίου του 2015 υπάρχει ένα ενδιαφέρον άρθρο στο οποίο αποδεικνύεται η γενική ταυτότητα χωρίς επαγωγή. Μάλιστα χρησιμοποιούνται 3 διαφορετικές προσεγγίσεις, με γραμμική άλγεβρα, ανάπτυγμα Maclaurin και συνδυαστική.

Δίνω το σχετικό σύνδεσμο:https://cms.math.ca/publications/crux/i ... 41&issue=1 .

Το άρθρο είναι στις σελίδες 16-20. Εκτός από τις αποδείξεις, υπάρχουν και παραδείγματα εφαρμογής της ταυτότητας σε άλλα προβλήματα.

Όπως αναφέρεται στο άρθρο , το εν λόγω αποτέλεσμα αποδίδεται στον Euler.


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4615
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μάιος 19, 2021 12:20 pm

Πάντως η ταυτότητα αυτή \displaystyle{\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n-1}  = 0 } μπορεί να δειχθεί και με ισχυρά εργαλεία ανάλυσης.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 660
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Μάιος 21, 2021 6:23 pm

Ας θεωρήσουμε τον τελεστή L: C^{\infty}\left(\mathbb{R}\right) \longrightarrow C^{\infty}\left(\mathbb{R}\right) τέτοιο ώστε: L(f)(x) = xf'(x) για κάθε x \in \mathbb{R} και κάθε απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση f.

Ισχυρισμός 1ος: Αν P(\cdot) είναι πολυώνυμο με ρίζα πολλαπλότητας k \geq 1 το x_0 \neq 0, τότε το L(P)(\cdot) είναι πολυώνυμο με ρίζα πολλαπλότητας k - 1 το x_0.

Απόδειξη 1ου ισχυρισμού: Αν P(x) = (x - x_0)^{k}Q(x) me Q(x_0) \neq 0, τότε
\displaystyle{L(P)(x) = xP'(x) = x\left[(x - x_0)^{k}Q'(x) + k(x - x_0)^{k-1}Q(x)\right] = (x - x_0)^{k-1}\left[x(x - x_0)Q'(x) + kxQ(x)\right]},
με την ποσότητα μέσα στις αγκύλες να ισούται με kx_0Q(x_0) \neq 0 όταν x = x_0.

Ισχυρισμός 2ος: Έστω P(x) = - (x - 1)^{n}, τότε για κάθε k \in \mathbb{N} έχουμε
\displaystyle{L^{k}(P)(x) = \sum_{j = 0}^{n}{{{n}\choose{j}} j^kx^j(-1)^{n - j + 1}}}

Απόδειξη 2ου ισχυρισμού: επαγωγή στο k. Για k = 0 έχουμε L^{0}(P)(x) = P(x) = - (x - 1)^{n} και απλά χρησιμοποιούμε το διωνυμικό ανάπτυγμα που δίνει το δεξί μέλος της ζητούμενης για k = 0. Έστω πως ισχύει για k = m, οπότε
\displaystyle{L^{m}(P)(x) = \sum_{j = 0}^{n}{{{n}\choose{j}} j^mx^j(-1)^{n - j + 1}}},
οπότε παραγωγίζοντας και πολλαπλασιάζοντας με x παίρνουμε:
\displaystyle{L^{m+1}(P)(x) = x(L^{m}(P)(x))' = x\left(\sum_{j = 0}^{n}{{{n}\choose{j}} j^kx^j(-1)^{n - j + 1}}\right)' = x\sum_{j = 0}^{n}{{{n}\choose{j}} j^m \left(x^{j}\right)'(-1)^{n - j + 1}}},
επομένως
\displaystyle{L^{m+1}(P)(x) = x\sum_{j = 0}^{n}{{{n}\choose{j}} j^m \times jx^{j-1}(-1)^{n - j + 1}} = \sum_{j = 0}^{n}{{{n}\choose{j}} j^{m+1} x^{j}(-1)^{n - j + 1}}}
που είναι το ζητούμενο για k = m+1.

Στο πρόβλημά μας τώρα, από τον 1ο ισχυρισμό έχουμε πως το 1 είναι ρίζα τάξης n - (n - 2) = 2 (δηλαδή διπλή ρίζα) του L^{n-2}(P), όπου για κάθε x ο 2ος ισχυρισμός δίνει:
\displaystyle{L^{n - 2}(P)(x) = \sum_{j = 0}^{n}{{{n}\choose{j}} j^{n - 2}x^j(-1)^{n - j + 1}}},
και άρα θέτοντας x = 1 παίρνουμε:
\displaystyle{0 = L^{n - 2}(P)(1) = \sum_{j = 0}^{n}{{{n}\choose{j}} j^{n - 2}(-1)^{n - j + 1}}},
δηλαδή το ζητούμενο.

ΥΓ: Όπως είπε και ο κ. Λάμπρου πιο πάνω, ο εκθέτης του j μπορεί να είναι οποιοσδήποτε k \in \{0, 1, ... n - 1\}, αφού για κάθε τέτοιο k παίρνουμε το L^k(P)(\cdot) που έχει ρίζα πολλαπλότητας n - k το 1, οπότε μηδενίζεται στο 1 για κάθε τέτοιο k.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
jimangel2001
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 13, 2021 9:48 pm

Re: Απόδειξη οτι η Σουμα αυτή ισούται με 0

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jimangel2001 » Κυρ Μάιος 23, 2021 1:42 pm

Ευχαριστώ πολύ Νίκο,

Πολύ ωραία απάντηση και έμαθα και για τους τελεστές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες