Διαιρετότητα και Πρώτοι αριθμοί - Απορία

[ma128]

Ενδεχομένως να είναι ανόητη η απορία μου αλλά βλέπω κάτι σε πολλές λύσεις ασκήσεων που δεν μου φαίνεται προφανές.Έστω ακέραιοι. Αν τότε έπεται οτι για κάποιο .
Δηλαδή αν ένας αριθμός διαιρεί ενα γινόμενο ακεραίων τότε διαρεί κάποιος παράγοντα του γινομένου; Δεν μου φαίνεται προφανές καθώς, πχ όμως το 10 δεν διαιρεί το 4 ή το 5.

[Mihalis_Lambrou]

Ενδεχομένως να είναι ανόητη η απορία μου αλλά βλέπω κάτι σε πολλές λύσεις ασκήσεων που δεν μου φαίνεται προφανές.
Έστω α1, α2, ....., αn ακέραιοι. Αν κ|α1α2....αn τότε έπεται οτι κ|αi για κάποιο i=1,2,3,....,n. Δηλαδή αν ένας αριθμός διαιρεί ενα γινόμενο ακεραίων τότε διαρεί κάποιος παράγοντα του γινομένου; Δεν μου φαίνεται προφανές καθώς, πχ 10|4*5 όμως το 10 δεν διαιρεί το 4 ή το 5.

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Γράψε σε παρακαλώ το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας, και θα σου απαντήσω. Περιμένουμε την διόρθωση.

[ma128]

Ενδεχομένως να είναι ανόητη η απορία μου αλλά βλέπω κάτι σε πολλές λύσεις ασκήσεων που δεν μου φαίνεται προφανές.
Έστω α1, α2, ....., αn ακέραιοι. Αν κ|α1α2....αn τότε έπεται οτι κ|αi για κάποιο i=1,2,3,....,n. Δηλαδή αν ένας αριθμός διαιρεί ενα γινόμενο ακεραίων τότε διαρεί κάποιος παράγοντα του γινομένου; Δεν μου φαίνεται προφανές καθώς, πχ 10|4*5 όμως το 10 δεν διαιρεί το 4 ή το 5.

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Γράψε σε παρακαλώ το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας, και θα σου απαντήσω. Περιμένουμε την διόρθωση.

Καλώς σας βρήκα. Ευχαριστώ για την επισήμανση.

[Mihalis_Lambrou]

Ενδεχομένως να είναι ανόητη η απορία μου αλλά βλέπω κάτι σε πολλές λύσεις ασκήσεων που δεν μου φαίνεται προφανές.Έστω ακέραιοι. Αν τότε έπεται οτι για κάποιο .
Δηλαδή αν ένας αριθμός διαιρεί ενα γινόμενο ακεραίων τότε διαρεί κάποιος παράγοντα του γινομένου; Δεν μου φαίνεται προφανές καθώς, πχ όμως το 10 δεν διαιρεί το 4 ή το 5.

Ευχαριστώ για την διόρθωση.

Το αποδεικτέο που ζητάς, δηλαδή η πρόταση

Αν τότε έπεται οτι για κάποιο

ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ. Άλλωστε μόνος σου δίνεις αντιπαράδειγμα.

Υπόψη ότι η πρόταση ισχύει αν έχεις και άλλες υποθέσεις. Για παράδειγμα ισχύει αν υποθέσεις ακόμα ότι ο είναι πρώτος αριθμός.

Για την απόδειξη ή για παραπομπή στην βιβλιογραφία, θα ήθελα πρώτα να ρωτήσω ποιες είναι οι γνώσεις σου στο θέμα. Για παράδειγμα, παρατηρώ ότι τοποθέτησες το ποστ στον φάκελο των Α.Ε.Ι. Είσαι λοιπόν φοιτητής; Πόση Θεωρία Αριθμών γνωρίζεις; Τι βιβλία έχεις;

[ma128]

Μάλιστα είμαι πρωτοετής φοιτητής στο Μαθηματικό. Θα με ενδιέφερε να δώ την απόδειξη.
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση και το ενδιαφέρον.

[ma128]

Για να γίνω πιο συγκεκριμένος. Η άσκηση επ'αφορμή της οποίας ρωτώ είναι η εξής:
Έστω θετικοί ακέραιοι. Αν όπου (a,b) o μέγιστος κοινός διαιρέτης των. Τότε να δειχτεί οτι ξέκινω με την υπόθεση οτι ο ζητούμενος μκδ, έστω είναι μεγαλύτερος της μονάδος επομένως έχει έναν πρώτο διαιρέτη . Αφού και συνεπάγεται οτι . Εδώ είναι το θέμα επειδή ο είναι πρώτος μπορώ να εξάγω οτι ή ;

[Τσιαλας Νικολαος]

Καλημέρα! Ναι είναι σωστό το συμπέρασμα σου!

[ma128]

Ευχαριστώ πολύ.Και καλημέρα επίσης

[Mihalis_Lambrou]

... συνεπάγεται οτι . Εδώ είναι το θέμα επειδή ο είναι πρώτος μπορώ να εξάγω οτι ή ;

Όπως έγραψε ο Νίκος παραπάνω, το συμπέρασμα αυτό αληθεύει. Το ερώτημα είναι αν ξέρεις την απόδειξη ή αν ξέρεις που να την βρεις.

Περιμένουμε την απάντησή σου.

[ma128]

Ευχαρίστηση μου να μου υποδείξετε. Σκέφτομαι την περίπτωση όπου ένας πρώτος αριθμός, έστω διαιρεί έναν ακέραιο α>1 υψωμένο σε μία δύναμη n . Επειδή κάθε αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο των πρώτων διαιρετών του, ο αναλύεται σε πρώτους.
Αν ο είναι πρώτος , άρα είναι ένας παράγοντας του γινομένου αυτού. Και υποθέσουμε οτι τότε καταλήγουμε σε άτοπο, διαιρώντας με και τα δύο μέλη της εξίσωσης της πρωτογενής ανάλυσης του και απομονώντας έπειτα στο ένα μέλος το ,καθώς θα προκύψει πράγμα αδύνατο αφού ο είναι πρώτος. Άρα υποχρεωτικά με την ίδια πάλι λογική θα προκύψει οτι .
Αν ο δεν είναι πρώτος τότε αναλύεται και αυτός ως γινόμενο των πρώτων διαιρετών του, οι οποίοι δεν μπορούν παρά να είναι και διαιρέτες του αφου και πάλι με την ίδια λογική όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, θα προκύψει οτι ο υποχρεωτικά είναι διαιρέτης του καθώς αν o είναι μεγαλύτερος απο κάποιον πρώτο διαιρέτη του a , έστω θα προκύψει άτοπο . Ενώ άν είναι μικρότερος πάλι άτοπο αφού θα έχουμε .
Επομένως υποχρεωτικά .

Αυτά για αυτή τη περίπτωση. Η απόδειξη έχει ατέλειες τις οποίες έχω εντοπίσει ήδη, δεν είναι ολοκληρωμένη, ενδεχομένως να μην είναι και σωστή.Απλώς παραθέτω τη σκέψη μου και για αυτό με συγχωρείτε εάν η παράθεση αυτή δεν είναι και τόσο επιμελημένη, σας τα έγραψα τα πράγματα όπως και καθώς τα σκεφτόμουν.

Υ.Γ σίγουρα θα πρέπει και προβληματίζομαι για το βήμα της διαίρεσης με

Υ.Γ 2: Η διαίρεση θα πρέπει να γίνει με όπου ο εκθέτης του στην εξίσωση της πρωτογενούς ανάλυσης του k>=0

[Mihalis_Lambrou]

Ευχαρίστηση μου να μου υποδείξετε. Σκέφτομαι την περίπτωση όπου ένας πρώτος αριθμός, έστω διαιρεί έναν ακέραιο α>1 υψωμένο σε μία δύναμη n . Επειδή κάθε αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο των πρώτων διαιρετών του, ο αναλύεται σε πρώτους.
Αν ο είναι πρώτος , άρα είναι ένας παράγοντας του γινομένου αυτού. Και υποθέσουμε οτι τότε καταλήγουμε σε άτοπο, διαιρώντας με και τα δύο μέλη της εξίσωσης της πρωτογενής ανάλυσης του και απομονώντας έπειτα στο ένα μέλος το ,καθώς θα προκύψει πράγμα αδύνατο αφού ο είναι πρώτος. Άρα υποχρεωτικά με την ίδια πάλι λογική θα προκύψει οτι .
Αν ο δεν είναι πρώτος τότε αναλύεται και αυτός ως γινόμενο των πρώτων διαιρετών του, οι οποίοι δεν μπορούν παρά να είναι και διαιρέτες του αφου και πάλι με την ίδια λογική όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, θα προκύψει οτι ο υποχρεωτικά είναι διαιρέτης του καθώς αν o είναι μεγαλύτερος απο κάποιον πρώτο διαιρέτη του a , έστω θα προκύψει άτοπο . Ενώ άν είναι μικρότερος πάλι άτοπο αφού θα έχουμε .
Επομένως υποχρεωτικά .

Αυτά για αυτή τη περίπτωση. Η απόδειξη έχει ατέλειες τις οποίες έχω εντοπίσει ήδη, δεν είναι ολοκληρωμένη, ενδεχομένως να μην είναι και σωστή.Απλώς παραθέτω τη σκέψη μου και για αυτό με συγχωρείτε εάν η παράθεση αυτή δεν είναι και τόσο επιμελημένη, σας τα έγραψα τα πράγματα όπως και καθώς τα σκεφτόμουν.

Υ.Γ σίγουρα θα πρέπει και προβληματίζομαι για το βήμα της διαίρεσης με

Υ.Γ 2: Η διαίρεση θα πρέπει να γίνει με όπου ο εκθέτης του στην εξίσωση της πρωτογενούς ανάλυσης του k>=0

Ο συλλογισμός έχει πολλά λάθη και ασάφειες (και περιττά). Για να μην ανακαλύπτουμε τον τροχό για κάτι απλό και το οποίο υπάρχει ΣΕ ΟΛΑ τα βιβλία Θεωρίας Αριθμών, θα συνιστούσα να ανατρέξεις στο βιβλίο του Μαθήματος. Αν για κάποιο λόγο, κολλήσεις, μην διστάσεις να ξαναρωτήσεις εδώ στο φόρουμ.

[ksofsa]

Ενδιαφέρον έχει και το εξής:

Αν δύναμη πρώτου αριθμού , οι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο και το διαιρεί το γινόμενο των , τότε ένας και μόνο ένας εκ των διαιρείται δια .

[ma128]

Ο συλλογισμός έχει πολλά λάθη και ασάφειες (και περιττά). Για να μην ανακαλύπτουμε τον τροχό για κάτι απλό και το οποίο υπάρχει ΣΕ ΟΛΑ τα βιβλία Θεωρίας Αριθμών, θα συνιστούσα να ανατρέξεις στο βιβλίο του Μαθήματος. Αν για κάποιο λόγο, κολλήσεις, μην διστάσεις να ξαναρωτήσεις εδώ στο φόρουμ.

Στο βιβλίο που έχω, το πανεπιστημιακό, αλλά και σε σημειώσεις στο διαδίκτυο που έχω ξεψαχνίσει, δεν βρίσκω κάτι σχετικό ή έστω δεν έχω τη δυνατότητα να το διακρίνω.Επομένως θα με βοηθούσατε πολύ να μου υποδείξετε την απόδειξη ή που θα την βρώ.
Επίσης θα με βοηθούσε, αν το κρίνεται σκόπιμο βέβαια , να μου υποδείξετε τα λάθη στο συλλογισμό μου.
Ως προς την ασάφεια, αν το κρίνεται σκόπιμο ξανατονίζω, μπορώ να σας παραθέσω πιο αναλυτικά την διαδικασία.

[ma128]

Ενδιαφέρον έχει και το εξής:

Αν δύναμη πρώτου αριθμού , οι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο και το διαιρεί το γινόμενο των , τότε ένας και μόνο ένας εκ των διαιρείται δια .

Αναφέρεστε σε αυτή τη περίπτωση, σωστά;

[Τσιαλας Νικολαος]

Καλησπέρα και πάλι! Στο βιβλίο της Β λυκείου κατεύθυνσης στην σελίδα 165 θα βρεις αυτό που θες!

[ma128]

Καλησπέρα και πάλι! Στο βιβλίο της Β λυκείου κατεύθυνσης στην σελίδα 165 θα βρεις αυτό που θες!

Ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη.
Τελικά ήταν αρκετά πιο εύκολο απο οτι το σκεφτόμουν

[ksofsa]

Καλησπέρα!

Η περίπτωση που ανέφερα είναι κάποιες υποθέσεις για να ισχύει η συνεπαγωγή , για κάποιο .

Δηλαδή υπάρχουν κι άλλες περιπτώσεις που μπορεί να ισχύει η συνεπαγωγή, πέρα από την περίπτωση να είναι ο πρώτος.

Θα συμφωνήσω ότι το βιβλίο κατεύθυνσης της β' λυκείου είναι πολύ κατατοπιστικό σε θέματα διαιρετότητας.