mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 24, 2022 10:14 pm**

Καλησπέρα, ψάχνω μια μεθοδολογία για να μετατρέπω μιγαδικούς αριθμούς με ακεραίους συντελεστές σε πολλαπλασιασμό πρώτων μιγαδικών αριθμών.
Γνωρίζει κάποιος έναν αλγόριθμο για αυτό;

Επειδή δεν ξέρω στα ελληνικά αν το γράφω σωστά, στα αγγλικά λέγεται factorization of gaussian integers in product of prime gausian numbers.

Ευχαριστώ.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 25, 2022 7:34 pm**

xmaze έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 24, 2022 10:14 pm
Καλησπέρα, ψάχνω μια μεθοδολογία για να μετατρέπω μιγαδικούς αριθμούς με ακεραίους συντελεστές σε πολλαπλασιασμό πρώτων μιγαδικών αριθμών.
Γνωρίζει κάποιος έναν αλγόριθμο για αυτό;

Επειδή δεν ξέρω στα ελληνικά αν το γράφω σωστά, στα αγγλικά λέγεται factorization of gaussian integers in product of prime gausian numbers.

Ευχαριστώ.

Για αλγόριθμο δεν ξέρω πάντως ξέρουμε ακριβώς ποια στοιχεία είναι πρώτα στους ακέραιους του Gauss.
Αυτά είναι τα m+ni

, όπου το

είναι πρώτος της μορφής 4k+3

και

(η ανάποδα) και τα
m+ni

όπου το

είναι πρώτος.
Δεν ξέρω αν αυτό βοηθάει.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 26, 2022 4:46 pm**

xmaze έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 24, 2022 10:14 pm
Καλησπέρα, ψάχνω μια μεθοδολογία για να μετατρέπω μιγαδικούς αριθμούς με ακεραίους συντελεστές σε πολλαπλασιασμό πρώτων μιγαδικών αριθμών.
Γνωρίζει κάποιος έναν αλγόριθμο για αυτό;

Επειδή δεν ξέρω στα ελληνικά αν το γράφω σωστά, στα αγγλικά λέγεται factorization of gaussian integers in product of prime gausian numbers.

Ευχαριστώ.

Γειά σας.
Ξέρουμε ποια στοιχεία του $\mathhbb{Z}(i)$ είναι ενάδες(αντιστρέψιμα στοιχεία, units) και ποια είναι πρώτοι:
Ενάδες: Τα $\pm 1$ , $\pm i$ .
Πρώτοι: Οι πρώτοι του $\mathbb{Z}$ της μορφής 4m+3

, o

και οι $x \pm yi$ με

,

θετικούς εκεραίους και ο x^2+y^2

να είναι πρώτος της μορφής 4m+1

και επιπλέον όλου οι εταιριστές τους (γινόμενα τους επί ενάδες)
Ορίζουμε την στάθμη (norm) N(z)

ενός στοιχείου

του $\mathhbb{Z}(i)$ να είναι το $z\bar{z}$ . Ισχύει $N\left( z_{1}z_{2}\right) =N\left( z_{1}\right) N\left( z_{2}\right)$ και επομένως έχουμε την συνεπαγωγή:
Αν z|w

στο $\mathhbb{Z}(i)$ θα είναι $N\left( z\right) |N\left( w\right)$ στο $\mathhbb{Z}$ .
Συνέπεια του παραπάνω είναι ότι
Αν N(z)

είναι πρώτος τότε ο

είναι πρώτος.
Ένα αλγόριθμος ανάλυσης του

σε γινόμενο πρώτων παραγόντων συνίσταται στην διαίρεση του

κάθε φορά με ένα πρώτο παράγοντα έως να φθάσουμε τελικά σε μία ενάδα. Αυτό μπορεί να γίνει με την αναζήτηση ενός πρώτου παράγοντα του N(z)

έστω

, εύρεση όλων των λύσεων (x,y)

της $x^{2}+y^{2}=p$ και εξέταση του ποιοι από τους x+yi

είναι πρώτοι και διαιρούν τον

. Αν εντοπιστει πρώτος διιαρέτης

του

τότε συνεχίζουμε με τον z/u

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2022 9:27 pm**

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 26, 2022 4:46 pm

xmaze έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 24, 2022 10:14 pm
Καλησπέρα, ψάχνω μια μεθοδολογία για να μετατρέπω μιγαδικούς αριθμούς με ακεραίους συντελεστές σε πολλαπλασιασμό πρώτων μιγαδικών αριθμών.
Γνωρίζει κάποιος έναν αλγόριθμο για αυτό;

Επειδή δεν ξέρω στα ελληνικά αν το γράφω σωστά, στα αγγλικά λέγεται factorization of gaussian integers in product of prime gausian numbers.

Ευχαριστώ.
Γειά σας.
Ξέρουμε ποια στοιχεία του $\mathhbb{Z}(i)$ είναι ενάδες(αντιστρέψιμα στοιχεία, units) και ποια είναι πρώτοι:
Ενάδες: Τα $\pm 1$ , $\pm i$ .
Πρώτοι: Οι πρώτοι του $\mathbb{Z}$ της μορφής , o και οι $x \pm yi$ με , θετικούς εκεραίους και ο να είναι πρώτος της μορφής
και επιπλέον όλου οι εταιριστές τους (γινόμενα τους επί ενάδες)
Ορίζουμε την στάθμη (norm) ενός στοιχείου του $\mathhbb{Z}(i)$ να είναι το $z\bar{z}$ . Ισχύει $N\left( z_{1}z_{2}\right) =N\left( z_{1}\right) N\left( z_{2}\right)$ και επομένως έχουμε την συνεπαγωγή:
Αν στο $\mathhbb{Z}(i)$ θα είναι $N\left( z\right) |N\left( w\right)$ στο $\mathhbb{Z}$ .
Συνέπεια του παραπάνω είναι ότι
Αν είναι πρώτος τότε ο είναι πρώτος.
Ένα αλγόριθμος ανάλυσης του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων συνίσταται στην διαίρεση του κάθε φορά με ένα πρώτο παράγοντα έως να φθάσουμε τελικά σε μία ενάδα. Αυτό μπορεί να γίνει με την αναζήτηση ενός πρώτου παράγοντα του έστω , εύρεση όλων των λύσεων της $x^{2}+y^{2}=p$ και εξέταση του ποιοι από τους είναι πρώτοι και διαιρούν τον . Αν εντοπιστει πρώτος διιαρέτης του τότε συνεχίζουμε με τον .

Σόρρυ για την καθυστέρηση, αλλά μετά τις εξετάσεις άργησα να μπω, νομίζω ότι αυτή η μεθοδολογία είναι αυτή που ψάχνω, μήπως υπάρχει και κάποιο παράδειγμα για να μπορέσω να την κατανοήσω;

ΥΓ. Δυστυχώς κόπηκα στις εξετάσεις,

παρόλο που ήμουν πολύ καλά προετοιμασμένος. Δεν επιτρεπόταν κανένα κομπιουτεράκι και έκανα λάθη στις πράξεις και με φάγανε το 70% των πόντων. Αυτήν την μάστιγα των υπολογισμών με το χέρι και την πίεση του χρόνου ποτέ δεν κατάλαβα που βοηθάει αλλά τεσπά.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2022 9:28 pm**

stranger έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 25, 2022 7:34 pm

xmaze έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 24, 2022 10:14 pm
Καλησπέρα, ψάχνω μια μεθοδολογία για να μετατρέπω μιγαδικούς αριθμούς με ακεραίους συντελεστές σε πολλαπλασιασμό πρώτων μιγαδικών αριθμών.
Γνωρίζει κάποιος έναν αλγόριθμο για αυτό;

Επειδή δεν ξέρω στα ελληνικά αν το γράφω σωστά, στα αγγλικά λέγεται factorization of gaussian integers in product of prime gausian numbers.

Ευχαριστώ.
Για αλγόριθμο δεν ξέρω πάντως ξέρουμε ακριβώς ποια στοιχεία είναι πρώτα στους ακέραιους του Gauss.
Αυτά είναι τα , όπου το είναι πρώτος της μορφής και (η ανάποδα) και τα
όπου το είναι πρώτος.
Δεν ξέρω αν αυτό βοηθάει.

Ευχαριστώ για την απάντηση αλλά δεν μπορώ να καταλάβω αν είναι αυτό που ψάχνω.

mathematica.gr

Παραγοντοποίηση μιγαδικών αριθμών (ακεραίων)

Παραγοντοποίηση μιγαδικών αριθμών (ακεραίων)

Re: Παραγοντοποίηση μιγαδικών αριθμών (ακεραίων)

Re: Παραγοντοποίηση μιγαδικών αριθμών (ακεραίων)

Re: Παραγοντοποίηση μιγαδικών αριθμών (ακεραίων)

Re: Παραγοντοποίηση μιγαδικών αριθμών (ακεραίων)