Σύγκλιση ανεξαρτήτως ριζικού
Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 12, 2025 6:11 am
Καλημέρα.
Μια ιδιοκατασκευή:
Έστω μετασχηματισμός ακεραίων
.
Ξεκινώντας από το ζεύγος
και με διαδοχικές εφαρμογές του μετασχηματισμού παίρνουμε μια ακολουθία από ζεύγη 
.
Έστω
ο μέγιστος πρώτος διαιρέτης του 
.
Έστω
το σύνολο των 
για τα διάφορα 
.
Δείξτε ότι, για κάθε
,
η σειρά![\sum_{p\in S}\dfrac{1}{\sqrt[n]{p}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5f8dc49dd2dcf953415404d3f333e3b8.png "\sum_{p\in S}\dfrac{1}{\sqrt[n]{p}}")
συγκλίνει.
Μια ιδιοκατασκευή:
Έστω μετασχηματισμός ακεραίων
.Ξεκινώντας από το ζεύγος
και με διαδοχικές εφαρμογές του μετασχηματισμού παίρνουμε μια ακολουθία από ζεύγη .Έστω
ο μέγιστος πρώτος διαιρέτης του .Έστω
το σύνολο των για τα διάφορα .Δείξτε ότι, για κάθε
,η σειρά
συγκλίνει.
και αναλύστε σε γινόμενο αριθμών του Fermat. Με επίκληση σε ένα θεώρημα του Lucas που εκτιμά τους πρώτους διαιρέτες των αριθμών του Fermat, δείξτε το ζητούμενο.