2*5^z=3^t+1
Συντονιστής: nkatsipis
2*5^z=3^t+1
Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:
Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;
Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: 2*5^z=3^t+1
Κώστα γράφω την άκομψη λύση μου περιληπτικά αφού είναι μακροσκελής και γεμάτη πράξεις (που φυσικά δεν έκανα με το χέρι). Ευελπιστώ για καλύτερη και πιο σύντομη λύση την οποία αυτή τη στιγμή δε βλέπω. Ελπίζω να μην έχω χάσει κάπου.
Βρίσκω ως μοναδική λύση την .
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι και
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι και
και έτσι τελικά η αρχική εξίσωση γίνεται: στην οποία παίρνοντας , το πρώτο μέλος είναι ισότιμο με ενώ το δεύτερο είναι ισότιμο με , άτοπο.
Αλέξανδρος
Βρίσκω ως μοναδική λύση την .
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι και
Παίρνοντας βρίσκουμε ότι και
και έτσι τελικά η αρχική εξίσωση γίνεται: στην οποία παίρνοντας , το πρώτο μέλος είναι ισότιμο με ενώ το δεύτερο είναι ισότιμο με , άτοπο.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: 2*5^z=3^t+1
Αλέξανδρε, να είσαι καλά και σε ευχαριστώ!
Ακολουθώντας μια σκέψη μου για την λύση του θέματος εδώ, έπρεπε να λυθούν κάποιες διαφαντικές με αγνώστους στον εκθέτη. Από αυτές οι πλέον ενδιαφέρουσες είναι αυτή που τώρα συζητάμε και η . Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το διαιρείται με το αν και μόνον αν το x διαιρείται με το .
Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το διαιρείται με το αν και μόνο αν το t διαιρείται με το ,( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!
Να είσαι πάντα καλά και να σε διαβάζουμε!
Ακολουθώντας μια σκέψη μου για την λύση του θέματος εδώ, έπρεπε να λυθούν κάποιες διαφαντικές με αγνώστους στον εκθέτη. Από αυτές οι πλέον ενδιαφέρουσες είναι αυτή που τώρα συζητάμε και η . Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το διαιρείται με το αν και μόνον αν το x διαιρείται με το .
Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το διαιρείται με το αν και μόνο αν το t διαιρείται με το ,( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!
Να είσαι πάντα καλά και να σε διαβάζουμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 287
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:42 pm
Re: 2*5^z=3^t+1
Ηint:rek2 έγραψε: η . Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το διαιρείται με το αν και μόνον αν το x διαιρείται με το .
Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το διαιρείται με το αν και μόνο αν το t διαιρείται με το ,( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!
Re: 2*5^z=3^t+1
Αγαπητέ Δημήτρη, σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την βοήθειά σου!!dimitris pap έγραψε:Ηint:rek2 έγραψε: η . Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το διαιρείται με το αν και μόνον αν το x διαιρείται με το .
Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το διαιρείται με το αν και μόνο αν το t διαιρείται με το ,( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!
Να είσαι πάντα καλά, να προοδεύεις και να πραγματοποιήσεις με τον καλύτερο τρόπο τους σκοπούς της ζωής σου.
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: 2*5^z=3^t+1
Ο Δημήτρης χρησιμοποίησε απ' ότι μου είχε πει το πολύ χρήσιμο αυτό λήμμα που μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ για να λύσει και την περσινή άσκηση της Βαλκανιάδας.
Δημήτρη αν δε σου κάνει κόπο γράψε τη λύση σου στο συγκεκριμένο πρόβλημα αναλυτικά για να δούμε την εφαρμογή του παραπάνω λήμματος σε πραγματικό πρόβλημα.
Αλέξανδρος
Δημήτρη αν δε σου κάνει κόπο γράψε τη λύση σου στο συγκεκριμένο πρόβλημα αναλυτικά για να δούμε την εφαρμογή του παραπάνω λήμματος σε πραγματικό πρόβλημα.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- nkatsipis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
- Τοποθεσία: Σαντορίνη
- Επικοινωνία:
Re: 2*5^z=3^t+1
Καλημέρα σε όλους!
Διοφαντικές εξισώσεις της μορφής
, όπου δοσμένοι θετικοί ακέραιοι με και και αγνώστους τα , ονομάζονται εξισώσεις Pillai..
Έχει αποδειχθεί, (με κάποιες υποθέσεις για τα ), ότι εξισώσεις της παραπάνω μορφής έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων. Για την απόδειξη εφαρμόστηκε η υπερβατική μέθοδος του Baker. Δηλαδή χρησιμοποιήθηκαν φράγματα γραμμικών μορφών λογαρίθμων αλγεβρικών αριθμών.
Πράγματι, κάποιες εκθετικές διοφαντικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με πιο elementary τρόπο όπως περιέγραψαν ο Αλέξανδρος και ο Δημήτρης σε προηγούμενα μηνύματα (με modulo ή με το lifting the exponent).
Για το πρόβλημα μας αρκεί το ότι οι εξισώσεις θα έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων. Οπότε, για Α αρκετά μεγάλο τουλαχιστον ενας απο τους ακεραιους Α,Α+1,Α+2,...,Α+9 θα εχει περισσοτερους απο δυο διαφορετικους πρωτους παραγοντες.
Φιλικά,
Νίκος Κατσίπης
Διοφαντικές εξισώσεις της μορφής
, όπου δοσμένοι θετικοί ακέραιοι με και και αγνώστους τα , ονομάζονται εξισώσεις Pillai..
Έχει αποδειχθεί, (με κάποιες υποθέσεις για τα ), ότι εξισώσεις της παραπάνω μορφής έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων. Για την απόδειξη εφαρμόστηκε η υπερβατική μέθοδος του Baker. Δηλαδή χρησιμοποιήθηκαν φράγματα γραμμικών μορφών λογαρίθμων αλγεβρικών αριθμών.
Πράγματι, κάποιες εκθετικές διοφαντικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με πιο elementary τρόπο όπως περιέγραψαν ο Αλέξανδρος και ο Δημήτρης σε προηγούμενα μηνύματα (με modulo ή με το lifting the exponent).
Για το πρόβλημα μας αρκεί το ότι οι εξισώσεις θα έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων. Οπότε, για Α αρκετά μεγάλο τουλαχιστον ενας απο τους ακεραιους Α,Α+1,Α+2,...,Α+9 θα εχει περισσοτερους απο δυο διαφορετικους πρωτους παραγοντες.
Φιλικά,
Νίκος Κατσίπης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: 2*5^z=3^t+1
rek2 έγραψε:Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:
Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;
Απλή εφαρμογή του θεωρήματος zsigmondi Δες εδώ http://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem
Οπότε για υπάρχει πρώτος που δεν ισούται με και που διαιρεί τον οπότε δεν έχει λύσεις.
Το θεώρημα είναι χρήσιμο για εξισώσεις της μορφής αυτής.
Δημήτρης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: 2*5^z=3^t+1
Είναι μια καλή εφαρμογή του LTE.rek2 έγραψε:Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:
Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;
Θα αποδείξω ότι μοναδική λύση της εξίσωσης είναι
To LTE λήμμα λέει:
Αν δυο ακέραιοι και περιττός έτσι ώστε , τότε
, όπου είναι η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το .
Η εξίσωση έχει προφανή λύση την και ίσως να είναι μοναδική... Γενικά περιμένουμε πεπερασμένο πλήθος λύσεων σε μορφές για δεδομένους
άρα συνεπώς να θέσω άρα η εξίσωση θα έχει την παρακάτω μορφή,
Εδώ θα εφαρμοστεί το LTE οπότε,
άρα η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το είναι συνεπώς
, , 'αρα
(1)
Για κάθε επαγωγικά ισχύει ότι άρα αν θέσω για κάθε ισχύει
άρα η (1) δεν έχει λύσεις για άρα μοναδική λύση
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
Re: 2*5^z=3^t+1
Να βρεθούν οι φυσικοί τέτοιοι ώστε:
Με έχουμε:
Αν τότε έχουμε την:
Αν έχουμε την λύση
Αν με έχουμε αλλά με έχουμε Αδύνατο.
Αν τότε έχουμε την
Αν έχουμε την λύση
Αν έχουμε την αρχική που έχει λυθεί. Δίνω άλλη μια λύση:
Αν έχουμε την λύση
Αν τότε:
Με έχουμε:
Με έχουμε:
Όμως με έχουμε:
Αδύνατη.
Άρα οι λύσεις είναι
Με έχουμε:
Αν τότε έχουμε την:
Αν έχουμε την λύση
Αν με έχουμε αλλά με έχουμε Αδύνατο.
Αν τότε έχουμε την
Αν έχουμε την λύση
Αν έχουμε την αρχική που έχει λυθεί. Δίνω άλλη μια λύση:
Αν έχουμε την λύση
Αν τότε:
Με έχουμε:
Με έχουμε:
Όμως με έχουμε:
Αδύνατη.
Άρα οι λύσεις είναι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης