Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

Άβαταρ μέλους
George_F
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 11, 2013 12:11 pm

Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από George_F » Παρ Αύγ 23, 2013 1:51 pm

Διαβάζω αυτή την εποχή για την ζωή και το έργο του Κουρτ Γκεντελ, αυτού του μεγάλου μαθηματικού που φαντάζομαι οι περισσότεροι έχετε ακουστά. Για να μην μακρηγορώ ο Γκέντελ επινόησε και απέδειξε τα δυο περίφημα θεωρήματα της μη πληρότητας των μαθηματικών καταρρίπτοντας τα σχέδια του Χίλμπερτ για την απόδειξη του 2ου άλυτου προβλήματος όπως το είχε παρουσιάσει στο συνέδριο στην Γαλλία κατά τον 20ο αιώνα(ο Χίλμπερτ συνέταξε και παρουσίασε τα 20 άλυτα προβλήματα που θα απασχολήσουν τους μαθηματικούς στο μέλλον, το 2ο στην λίστα το οποίο αναφέρεται στην συμβατότητα των αριθμητικών αξιωμάτων). Η γενική ιδέα των δυο αυτών θεωρημάτων είναι ότι μια μαθηματική πρόταση μπορεί να είναι αληθής αλλά μη αποδείξιμη, βέβαια δυστυχώς δεν μπορούμε εξ αρχής να ξέρουμε αν ένα πρόβλημα εμπίπτει στην περίπτωση Γκέντελ , όπως για παράδειγμα πριν την απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά κανείς δεν ήξερε αν όντως θα μπορούσε να αποδειχθεί μέχρι που το '91 έφερε την απόδειξη του ο Ουάλις.

Η ερώτηση μου προς εσάς είναι θεωρείτε ότι υπάρχει περίπτωση η Εικασία του Γκόλντμπαχ* που δεν γνωρίζουμε αν εμπίπτει ή όχι στην περίπτωση Γκέντελ να αποδειχθεί τα επόμενα χρόνια παρ' ότι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών?

*(Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.)

Ευχαριστώ.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4185
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Αύγ 23, 2013 10:54 pm

George_F έγραψε: Η ερώτηση μου προς εσάς είναι θεωρείτε ότι υπάρχει περίπτωση η Εικασία του Γκόλντμπαχ* που δεν γνωρίζουμε αν εμπίπτει ή όχι στην περίπτωση Γκέντελ να αποδειχθεί τα επόμενα χρόνια παρ' ότι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών?

*(Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.)

Ευχαριστώ.

Ποτέ μην λες ΠΟΤΕ!!!

Πάντως αν κάποτε αποδειχθεί, θα είναι το γεγονός της χρονιάς...


Ακριβη
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2016 6:00 pm

Re: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ακριβη » Τρί Νοέμ 29, 2016 6:50 pm

Η απάντηση ίσως ειναι ευνόητη, ίσως και όχι.Απανταω όμως, και θα σας παρακαλούσα να λαβέ ταξί υπ'οψιν ότι είμαι 13.
"Πρέπει να μάθουμε.Θα μάθουμε". Το θεώρημα μη πληρότητας του Γκεντελ ειναι μια απόδειξη, δεν δηλώνει όμως πως εάν τα μαθηματικά προχωρήσουν θα ειναι αδύνατη η απόδειξη.Αρα, επειδή, κατα την άποψη μου, τα μαθηματικά, ως ορισμός της τελειότητας, αποδυκνειουν τα πάντα, η εν λόγω εικασία ειναι αποδειξιμη.Ας μην ξεχάσαμε πως το τελ.θεωρημα του Φερμα αποδείχθηκε χρόνια μετά απο τον θάνατο του.


Ακριβη
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2016 6:00 pm

Re: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ακριβη » Τρί Νοέμ 29, 2016 6:56 pm

Σε αυτό συμφωνώ.Θα ειναι σίγουρα το γεγονός της χρονιάς.Εαν όμως αποδυκνειοταν παράλληλα και η υπόθεση Ριμαν?Θα ήταν εντυπωσιακό.Ευχομαι, όμως, εάν ποτέ γίνει αυτό, να βρεθούν κι αλλά προβλήματα, γιατί τι αξία θα είχαν τα μαθηματικά χωριά άλυτα και δυσκολότερα προβλήματα?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1709
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 29, 2016 7:06 pm

Μην ανησυχείς .Δεν πρόκειται να ξεμείνουμε από άλυτα προβλήματα.
Αυτός είναι ένας κατάλογος
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_u ... athematics
Υπάρχουν και άλλοι.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2574
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μη πληρότητα-Γκολντμπαχ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Οκτ 28, 2017 5:26 am

George_F έγραψε:
Παρ Αύγ 23, 2013 1:51 pm
...Η γενική ιδέα των δυο αυτών θεωρημάτων είναι ότι μια μαθηματική πρόταση μπορεί να είναι αληθής αλλά μη αποδείξιμη, ...
Με αρκετή καθυστέρηση, θα ήθελα να διευκρινίσω ένα-δυο θέματα:
Στην παραπάνω παράθεση λείπει μια κρίσιμη φράση: "Η γενική ιδέα των δυο αυτών θεωρημάτων είναι ότι μια μαθηματική πρόταση μπορεί να είναι αληθής αλλά μη αποδείξιμη, μέσα σε ένα τυπικό αξιωματικό σύστημα που περιέχει την αριθμητική".
Γιατί είναι κρίσιμο αυτό; Θα προσπαθήσουμε να το διευκρινίσουμε όσο απλά γίνεται, χωρίς να χάσουμε την αυστηρότητα που έχουν τα δυο θεωρήματα μη-πληρότητας.

Κατ' αρχήν, δεν είναι ορθή η πρόταση "δεν γνωρίζουμε αν μια μαθηματική πρόταση μπορεί να αποδειχθεί". Θα εξηγήσω το γιατί, αλλά πριν χρειάζεται να δούμε κάποιες έννοιες:
Τι είναι ένα τυπικό αξιωματικό σύστημα; Είναι ένα σύστημα αξιωμάτων και (τυπικών) κανόνων συνεπαγωγής με τους οποίους (και μόνο με αυτούς!) μπορούμε να αποδεικνύουμε άλλες μαθηματικές προτάσεις (δηλαδή θεωρήματα). Είναι κρίσιμο το ότι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μόνο τους κανόνες συνεπαγωγής του συστήματος. (Φανταστείτε ότι έχουμε έναν υπολογιστή με απεριόριστη υπολογιστική ικανότητα, ο οποίος, αφού του "δώσουμε" τα αξιώματα και τους κανόνες συνεπαγωγής του συστήματος αρχίζει και "παράγει" προτάσεις.)

Οποιαδήποτε "διαδρομή" συσχετισμού των αξιωμάτων και χρήσης των κανόνων συνεπαγωγής του τυπικού αξιωματικού συστήματος, ας την ονομάσουμε αλγόριθμο.

Αυτό που λένε τα θεωρήματα μη-πληρότητας του Gödel είναι ότι αν έχουμε ένα τυπικό αξιωματικό σύστημα αρκετά "πλούσιο" ώστε να περιέχει και την αριθμητική, τότε υπάρχουν μαθηματικές προτάσεις της αριθμητικής για τις οποίες δεν υπάρχει κανένας -οσοδήποτε περίπλοκος, οσοδήποτε σύνθετος- αλγόριθμος που να τις αποδεικνύει.

Έτσι π.χ. για το τελευταίο θεώρημα του Fermat (ένα θεώρημα αριθμητικής), δεν είναι το ότι δεν γνωρίζαμε αν μπορούμε να το αποδείξουμε. Αυτό που γνωρίζαμε -από τα θεωρήματα μη-πληρότητας- είναι ότι μπορεί να μην υπάρχει ένας αλγόριθμος -φτιαγμένος από ένα τυπικό σύστημα- που να αποδεικνύει την αλήθεια ή το ψεύδος της εικασίας (θεωρήματος)!
Και η απόδειξη του Wales; Αυτή, κατά πάσα πιθανότητα, δεν είναι αποτέλεσμα ένας αλγορίθμου, αλλά στα (σημερινά) Μαθηματικά, δεν απαιτούμε μια απόδειξη να είναι αποτέλεσμα ενός αλγορίθμου!



Παρατήρηση: Στα παραπάνω θεωρείται δεδομένη (προφανής) η συνέπεια ενός τυπικού αξιωματικού συστήματος που περιέχει την αριθμητική.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης