Συνάρτηση επιλογής

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται ένα μη κενό υποσύνολο

του $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ με την ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία του περιέχουν ρητούς αριθμούς

$\forall x(x\in A \rightarrow x\cap\mathbb{Q}\ne\emptyset)\quad\color{red}(*)$

Να δειχθεί ότι για το υπάρχει συνάρτηση επιλογής,
δηλαδή μια συνάρτηση $f\colon A\to \cup A$
με την ιδιότητα
$\forall x (x\in A\rightarrow f(x)\in x)$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

#1. Λέγοντας να δειχθεί ότι υπάρχει, εννοούμε ότι θα πρέπει να δοθεί ένας καλά ορισμένος κανόνας ο οποίος για κάθε $x\in A$ να υποδεικνύει (κατασκευάζει) ένα συγκεκριμένο στοιχείο $y\in x$ . Η αναφορά σε ένα γενικό στοιχείο $y\in x$ που βασίζεται στο γεγονός ότι το

είναι μη κενό (υπαρξιακή υποστασιοποίηση):

"αφ' ού $x\ne \emptyset$ θα υπάρχει κάποιο $y\in x$ οπότε αντιστοιχούμε σε κάθε ένα τέτοιο "

μπορεί να αποτελέσει τυπική απόδειξη ύπαρξης ΜΟΝΟ στην περίπτωση που το

είναι πεπερασμένο σύνολο (σε αυτή την περίπτωση θα έχουμε μια τυπική απόδειξη-σχήμα επί μιας μεταβλητής φυσικών αριθμών που θα αντιστοιχεί στο πλήθος των στοιχείων του

)

#2. Χωρίς την παραπάνω ιδιότητα $\quad\color{red}(*)$ , για ένα γενικό άπειρο σύνολο

χωρίς επιπλέον διακρίνουσες ιδιότητες (πέραν της αναγκαίας ότι κάθε στοιχείο του

πρέπει να είναι μη κενό) μια τέτοια κατασκευή ΔΕΝ είναι δυνατή. Η ύπαρξη συνάρτησης επιλογής στην περίπτωση αυτή ΔΕΝ είναι λογική αναγκαιότητα και τυχούσα θεώρηση της -εν τη ρύμη ενός μαθηματικού επιχειρήματος- αποτελεί (de facto) εφαρμογή του αξιώματος της επιλογής. Έχει αποδειχθεί (forcing) ότι η ύπαρξη κάποιου απείρου

με μη κενά στοιχεία, που να μην έχει συνάρτηση επιλογής είναι μια υπόθεση που θα μπορούσε να αποτελέσει βάση ανάπτυξης συνεπών εναλλακτικών μαθηματικών θεωριών, προφανώς μη συμβατών με θεωρίες βασισμένες στο αξίωμα της επιλογής.

abfx · #2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 20, 2025 5:39 pm
Δίνεται ένα μη κενό υποσύνολο του $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ με την ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία του περιέχουν ρητούς αριθμούς

$\forall x(x\in A \rightarrow x\cap\mathbb{Q}\ne\emptyset)\quad\color{red}(*)$

Να δειχθεί ότι για το υπάρχει συνάρτηση επιλογής,
δηλαδή μια συνάρτηση $f\colon A\to \cup A$
με την ιδιότητα
$\forall x (x\in A\rightarrow f(x)\in x)$

Παραθέτω μια ιδέα.

Θεωρούμε γνωστό στην ZF για τα σύνολα $\mathbb N, \mathbb Q$ (με τη γνωστή τους κατασκευή) ότι υπάρχει

$a:\mathbb Q \rightarrow \mathbb N$ 1-1 και επί. Προκύπτει έπειτα εύκολα ότι η σχέση

$R=\{(p,q)\in \mathbb Q \times \mathbb Q: a(p)\leq a(q)\}$ , όπου $\leq$ η συνήθης διάταξη του $\mathbb N$ , είναι μια καλή διάταξη.

Ας δούμε για παράδειγμα την λιγότερο τετριμμένη από τις ιδιότητες που χρειάζεται να δείξουμε.

Έστω $\emptyset \neq S\subseteq \mathbb Q$ . Θα δείξουμε ότι υπάρχει $q_0\in S$ τέτοιο ώστε $\forall q\in S: (q_0,q)\in R$ .

Πράγματι, $\emptyset \neq a(S)\subseteq \mathbb N$ , επομένως, ως γνωστόν (ZF) υπάρχει $n_0\in \mathbb N$ ώστε $n_0\leq n$

για κάθε $n\in a(S)$ . Τώρα, αφού $n_0\in a(S)$ , υπάρχει $q_0\in S$ ώστε a(q_0)=n_0

.

Άρα, για τυχόν $q\in S$ , $a(q)\in a(S) \implies n_0=a(q_0)\leq a(q) \implies (q_0,q)\in R$ .

Πάμε τώρα στην κατασκευή της

. Θα θεωρήσουμε $f\subseteq A\times (\cup A)$ (Αξίωμα-σχήμα διαχωρισμού) ως εξής:

$f=\{t\in A\times (\cup A):(\exists x\in A)(\exists y\in\cup A)(y\in x\cap\mathbb Q \land (\forall z\in x\cap\mathbb Q, (y,z)\in R)\land t=(x,y) )\}$

Τότε έχουμε ότι η

είναι απεικόνιση. Πράγματι, αν $x\in A$ , από υπόθεση $x\cap \mathbb Q \neq \emptyset$ οπότε από

καλή διάταξη υπάρχει $y \in x\cap \mathbb Q\subseteq \cup A$ ώστε $\forall z \in x\cap \mathbb Q$ , $(y,z)\in R$ .

Άρα, το $t=(x,y) \in f$ . Έπειτα, έστω $(x,y), (x,y') \in f$ . Τότε $y,y' \in x\cap \mathbb Q$ και άρα

$(y,y'), (y',y)\in R \implies a(y)\leq a(y'), a(y')\leq a(y)\implies a(y)=a(y')$ οπότε y=y'

αφού η

είναι 1-1.

Τέλος, ελέγχουμε ότι για $x\in A$ , $(x,y)\in f \implies y\in x\cap \mathbb Q \implies y\in x$ , όπως θέλαμε.

Σχόλιο: Η ουσία των παραπάνω συνοψίζεται ως εξής. Αφού εφοδιάσουμε το $\mathbb Q$ με μια καλή διάταξη,

για κάθε στοιχείο

της συλλογής

επιλέγουμε το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου $x\cap \mathbb Q$ .

Η συνάρτηση επιλογής λοιπόν κατασκευάζεται αυτόματα και δεν χρειάζεται να επικαλεστούμε το αξίωμα της επιλογής

για να δείξουμε την ύπαρξή της.

Συνάρτηση επιλογής

Συνάρτηση επιλογής

Re: Συνάρτηση επιλογής

Μέλη σε σύνδεση