Σπουδαιότητα

[gbaloglou]

Στις 3 Δεκεμβρίου 2015 η Γερουσία των ΗΠΑ καταψήφισε 54-45-1 πρόταση απαγόρευσης οπλοκατοχής για άτομα ύποπτα τρομοκρατικών διασυνδέσεων: όλοι οι Ρεπουμπλικάνοι πλην ενός ψήφισαν κατά, και όλοι οι Δημοκρατικοί πλην ενός (που απείχε) ψήφισαν υπέρ. (Η ψηφοφορία αυτή θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί "μοιραία" ύστερα από την μαζική δολοφονία στο Ορλάντο, όπου ο μακελάρης κατείχε το δολοφονικό όπλο νόμιμα, παρά το γεγονός ότι είχε τραβήξει την προσοχή των αρχών.)

Από την παραπάνω στάση θα μπορούσε να συμπεράνει κάποιος ότι το Ρεπουμπλικανικό κόμμα των ΗΠΑ υποστηρίζει γενικώς την οπλοκατοχή, κάτι που είναι ούτως ή άλλως πασίγνωστο. Αλλά οι Ρεπουμπλικάνοι είναι επίσης γνωστοί για τις θέσεις τους σε θέματα διεθνούς πολιτικής, και ο τρέχων υποψήφιος τους για το προεδρικό χρίσμα φτάνει στο σημείο να υποστηρίζει την απαγόρευση εισόδου Μουσουλμάνων μεταναστών στις ΗΠΑ. Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι, για τους Ρεπουμπλικάνους, το θέμα "όπλα" είναι 'σπουδαιότερο' από το θέμα "Ισλάμ", τόσο που να δικαιολογεί, ή ακόμη και να συνεπάγεται, την παραπάνω 'αναπάντεχη' ψήφο.

Αφήνοντας κατά μέρος τις όποιες πολιτικές συζητήσεις θα μπορούσαν να τροφοδοτήσουν τα παραπάνω, αναρωτιέμαι αν και πως θα μπορούσαν να τυποποιηθούν στα πλαίσια της Μαθηματικής Λογικής, χρησιμοποιώντας για παράδειγμα κάποια έννοια όπως "Α σπουδαιότερο Β", κλπ κλπ (Πιθανολογώ ότι η έννοια αυτή ήδη υπάρχει στην βιβλιογραφία.)

[S.E.Louridas]

Συμφωνώ απόλυτα με τη τοποθέτηση του Γιώργου. Απλά η "Α σπουδαιότερο Β " παραπέμπει σε σχέση διάταξης σε καλώς ή μη διατεταγμένο σύνολο. Όπως δε είχε πει ο Hilbert, "ο κανόνας στη φύση είναι η διάταξη, η ισότητα είναι μερική περίπτωση".

[Σίλης]

Εμένα μού 'ρθαν συγκεκριμένα στο μυαλό οι λεγόμενες σχέσεις προτίμησης. Πρόκειται για μοντέλα της έννοιας της προτίμησης με βάση κάποια είδη προδιατάξεων (χωρίς αντισυμμετρικότητα απαραίτητα). Μελετιούνται στην οικονομία και όχι μόνο.

[Γιώργος Ρίζος]

Αφήνοντας κατά μέρος τις όποιες πολιτικές συζητήσεις θα μπορούσαν να τροφοδοτήσουν τα παραπάνω, αναρωτιέμαι αν και πως θα μπορούσαν να τυποποιηθούν στα πλαίσια της Μαθηματικής Λογικής, χρησιμοποιώντας για παράδειγμα κάποια έννοια όπως "Α σπουδαιότερο Β", κλπ κλπ (Πιθανολογώ ότι η έννοια αυτή ήδη υπάρχει στην βιβλιογραφία.)

Καλημέρα σας!

Ελπίζω το παράδειγμα που μεταφέρω παρακάτω να ανταποκρίνεται στο ερώτημα του Γιώργου.

Η Μέθοδος Condorcet

Το 1785 ο Γάλλος μαθηματικός Μαρκήσιος του Condorcet δημοσίευσε μία εργασία με τίτλο “Essai sur l’ application de l’ analyse à la probabilit é des d é cisions rendues à la pluralit é des voix”. Σκοπός της εργασίας του ήτ αν να υπολογίσει την πιθανότητα ορθών αποφάσεων που λαμβάνονται με πλειοψηφία, λαμβάνοντας ταυτόχρονα υπόψη ότι οι ψηφοφόροι μπορεί και να σφάλουν.
Σε αυτήν την εργασία ο Μαρκήσιος του Condorcet εισήγαγε τη μέθοδο της ταξινομικής ψήφου. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, οι ψηφοφόροι εκφράζουν μία σειρά προτίμησης για όλους τους υποψηφίους, δηλαδή τους ταξινομούν.
Για κάθε ψηφοδέλτιο γίνεται σύγκριση καθενός από τους υποψηφίους με τους αντιπάλους του και νικητής ανακηρύσσ εται τελικά εκείνος που ικανοποιεί το κριτήριο του Condorcet, εκείνος δηλαδή που όταν αναμετρηθεί με όλους τους άλλους υποψηφίους ανά ζεύγη υπερτερεί σε ψήφους (“pairwise champion”).
Η μέθοδος του Condorcet συνίσταται στην προσομοίωση όλων των δυνατών μονομαχιών μεταξύ των υποψηφίων οι οποίες ποικίλουν ανάλογα με τον αριθμό των εκάστοτε υποψηφίων. Όταν προσπαθήσει κανείς να εξάγει μία ολική κατάταξη βρίσκεται αντιμέτωπος με το λεγόμενο παράδοξο του Condorcet, διότι οι πλειοψηφικές προτιμήσεις δεν έχουν τη μεταβατική ιδιότητα και υπάρχει το ενδεχόμενο κανένας υποψήφιος να μην νικήσει όλους του τους αντιπάλους του ή ακόμα και το ενδεχόμενο της ισοπαλίας μεταξύ δύο υποψηφίων με αποτέλεσμα να μην μπορεί να υπάρξει ξεκάθαρος νικητής.
Για να κατανοήσουμε τη μη μεταβατικότητα της σχέσης προτίμησης, θα θεωρήσουμε ότι έχουμε τρεις υποψηφίους Α , Β και Γ και θα δεχτούμε ως πιθανό αποτέλεσμα το παρακάτω:
• προτίμησαν τη σειρά ΑΒΓ
• προτίμησαν τη σειρά ΒΓΑ
• προτίμησαν τη σειρά ΓΑΒ
• προτίμησαν τη σειρά ΑΓΒ
• προτίμησαν τη σειρά ΒΑΓ
• προτίμησαν τη σειρά ΓΒΑ

Το συμπέρασμα που προκύπτει από τις ανά δύο συγκρίσεις ζευγών είναι ότι η πλειοψηφία προτιμά τον A έναντι του B , τον B έναντι του Γ και τον Γ έναντι του Α . Δηλαδή, οδηγούμαστε σε έναν κύκλο χωρίς απόφαση. Ο κύκλος αυτός, μπορεί να λυθεί, θεωρώντας τη λιγότερο ισχυρή πλειοψηφική απόφαση ως “εσφαλμένη” πιθανότητα.

Αν τροποποιήσουμε λίγο το αποτέλεσμα για τους τρεις υποψηφίους του προηγούμενου παραδείγματος μπορεί εύκολα να φανεί και η επιλεκτική λειτουργία μίας ταξινομικής μεθόδου ψηφοφορίας.
Έστω λοιπόν ότι :
• προτίμησαν τη σειρά ΑΒΓ
• προτίμησαν τη σειρά ΒΓΑ
• προτίμησαν τη σειρά ΓΒΑ
• προτίμησαν τη σειρά ΑΓΒ
Στην περίπτωση αυτή ο A συγκεντρώνει το των πρώτων προτιμήσεων, ο B το και ο Γ το . Το συμπέρασμα που προκύπτει από τις ανά δύο συγκρίσεις ζευγών είναι ότι η πλειοψηφία προτιμά τον B έναντι του A και του Γ και τον Γ έναντι του Α . Επομένως, εάν έπρεπε να εκλεγούν δύο από τους τρεις υποψηφίους η μέθοδος Condorcet θα απέκλειε τον υποψήφιο A παρά το γεγονός ότι συγκέντρωσε σχεδόν τόσες πρώτες προτιμήσεις όσες οι υποψήφιοι B και Γ μαζί.
Είναι φανερό, από αυτό το παράδειγμα ότι η μέθοδος Condorcet έχει ως σκοπό την εκλογή του υποψηφίου εκείνου που είναι ευρέως αποδεκτός από την πλειοψηφία των πολιτών ακόμα και αν δεν αποτέλεσε την πρώτη τους επιλογή και όχι κάποιου που, ναι μεν, ψηφίστηκε από την πλειονότητα των πολιτών αλλά αποδοκιμάζεται από τους υπόλοιπους. Πιο συγκεκριμένα, η ταξινομική ψήφος δεν επιδιώκει να αναδείξει τη βέλτιστη λύση, με την έννοια του μέγιστου οφέλους, αλλά επιδιώκει να εξασφαλίσει ότι θα αποκλειστούν οι προτάσεις που μία ετερόκλητη πλειοψηφία θα μπορούσε να θεωρήσει επικίνδυνες περιορίζοντας τα υποτιθέμενα λάθη των ψηφοφόρων.

ΠΗΓΗ: Εδώ.

[gbaloglou]

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις! Λίγο ο καύσωνας, λίγο άλλες δουλειές με έκαναν να χάσω κάπως το ενδιαφέρον μου για το θέμα, ευτυχώς όμως φίλος Λογικός με παρέπεμψε στο Concept Calculus του κορυφαίου Λογικού Harvey Friedman, δείτε για παράδειγμα εδώ και εδώ. (Γιώργο τα του Condorcet κινούνται σε άλλη κατεύθυνση, μάλλον όχι άμεσα σχετιζόμενη, αλλά ιδιαίτερα προσφιλή σε μένα ... καθώς μου θυμίζει το 'γενικό' μάθημα (ΜΑΤ 102) και τα της Θεωρίας Ψήφου που δίδασκα κάποτε στις ΗΠΑ.)