Σχέση Ισοδυναμίας
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:47 pm
Σχέση Ισοδυναμίας
Γεια σας, αυτό είναι το πρώτο θέμα που φτιάχνω.
Διάβαζα το μάθημα διακριτά μαθηματικά που το δίνω για Σεπτέμβρη και βρήκα μια άσκηση από τον διδάσκοντά μου στην κατηγορία σχέσεις ισοδυναμίας, που δεν είχε σχέση με τις άλλες ασκήσεις. Η άσκηση έχει ως εξής..
Ερώτηση: Να βρεθούν τα , έτσι ώστε η να είναι σχέση ισοδυναμίας.
Λοιπόν η απορία μου είναι τι ακριβώς πρέπει να ξέρω για να το λύσω αυτό, καθώς οι γνώσεις μου σε σχέσεις ισοδυναμίας δεν με βοηθάνε, επίσης συμβουλεύτηκα και το βιβλίο που έχουμε "Διακριτά Μαθηματικά (2η έκδοση), Lipschutz Seymour, Lipson Marc Lars" αλλά στην ενότητα διμελείς σχέσεις και σχέσεις ισοδυναμίας δεν έχει καμία παρόμοια άσκηση. Αλλά και στο google, αναζητώντας στα ελληνικά αλλά και στα αγγλικά! δεν βρήκα τίποτα παρόμοιο. Δεν ζητάω να μου πείτε την τελική λύση της (καθώς αυτή την έχω), αλλά πως θα την λύσω, κάποια βοήθεια, ή έστω τι γνώσεις πρέπει να έχω για να την λύσω.
Επίσης και online υλικό για να μελετήσω (στα ελληνικά ή αγγλικά) είναι ευπρόσδεκτο.
Διάβαζα το μάθημα διακριτά μαθηματικά που το δίνω για Σεπτέμβρη και βρήκα μια άσκηση από τον διδάσκοντά μου στην κατηγορία σχέσεις ισοδυναμίας, που δεν είχε σχέση με τις άλλες ασκήσεις. Η άσκηση έχει ως εξής..
Ερώτηση: Να βρεθούν τα , έτσι ώστε η να είναι σχέση ισοδυναμίας.
Λοιπόν η απορία μου είναι τι ακριβώς πρέπει να ξέρω για να το λύσω αυτό, καθώς οι γνώσεις μου σε σχέσεις ισοδυναμίας δεν με βοηθάνε, επίσης συμβουλεύτηκα και το βιβλίο που έχουμε "Διακριτά Μαθηματικά (2η έκδοση), Lipschutz Seymour, Lipson Marc Lars" αλλά στην ενότητα διμελείς σχέσεις και σχέσεις ισοδυναμίας δεν έχει καμία παρόμοια άσκηση. Αλλά και στο google, αναζητώντας στα ελληνικά αλλά και στα αγγλικά! δεν βρήκα τίποτα παρόμοιο. Δεν ζητάω να μου πείτε την τελική λύση της (καθώς αυτή την έχω), αλλά πως θα την λύσω, κάποια βοήθεια, ή έστω τι γνώσεις πρέπει να έχω για να την λύσω.
Επίσης και online υλικό για να μελετήσω (στα ελληνικά ή αγγλικά) είναι ευπρόσδεκτο.
τελευταία επεξεργασία από black_char σε Δευ Αύγ 01, 2016 1:44 am, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Η σχέση πρέπει να είναι ανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική. Απαίτησε να ισχύουν αυτές οι ιδιότητες ξεκινώντας από την πρώτη.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:47 pm
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
οκ, άρα λοιπόν αρχικά έχουμε:
έστω:
τότε:
(αντικατάσταση του με το )
αλλά και πάλι, πώς βρίσκουμε τα , ;
έστω:
τότε:
(αντικατάσταση του με το )
αλλά και πάλι, πώς βρίσκουμε τα , ;
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Η σχέση σου πρέπει να ισχύει για όλα τα επομένως έχεις μια ισότητα πολυωνύμων...black_char έγραψε:...
τότε:
(αντικατάσταση του με το )
αλλά και πάλι, πώς βρίσκουμε τα , ;
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:47 pm
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
φίλε μου σε ευχαριστώ πάρα πολύ με την φράση κλειδί "ισότητα πολυωνύμων" με βοήθησες να το λύσω..
μπορεί να μην το πιστεύεις, αλλά είχα αρκετό καιρό να την εφαρμόσω, με αποτέλεσμα να ξεχάσω ότι υπάρχει..
μπορεί να μην το πιστεύεις, αλλά είχα αρκετό καιρό να την εφαρμόσω, με αποτέλεσμα να ξεχάσω ότι υπάρχει..
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Θα πρότεινα να κατέγραφες με (έστω σχετική) λεπτομέρεια τα βήματα που κάνεις, για να σου πούμε την γνώμη μας. Φοβάμαι ότι αν τα έγραφες όπως παραπάνω σε διαγώνισμα, ο διδάσκων μάλλον θα έβαζε βαθμό .
Με την ευκαιρία, κάνε και τις εξής διορθώσεις
Με την ευκαιρία, κάνε και τις εξής διορθώσεις
(τρία λάθη) καιblack_char έγραψε: το διδάσκων μου
black_char έγραψε: διμελής σχέσεις.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Ωραία. Κάποια πρόοδος είναι και αυτή δεδομένου ότι τώρα τα λάθη είναι μόνο δύο:Mihalis_Lambrou έγραψε:(τρία λάθη) καιblack_char έγραψε: το διδάσκων μου
Το "μου" ή "μας" δεν είναι λάθος. Περιμένουμε τα ουσιαστικά σφάλματα. Επίσης, καλό είναι να δούμε την λύση σου, αφού προετοιμάζεσαι για διαγώνισμα: Σου ευχόμαστε καλή τύχη από τώρα.black_char έγραψε: τον διδάσκον μας
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:47 pm
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
μάλιστα σας ευχαριστώ πολύ
ευχαριστώ επίσης για τις παρατηρήσεις σας (βλέπετε αυτές μας κάνουν καλύτερους) (αν και δεν βρήκα το τρίτο λάθος)
γιατί πιστεύετε ότι θα έπρεπε να πάρω (έστω και για μέχρι εκεί που την έφτασα);
επί την ευκαιρία, έβγαλα ότι και
ευχαριστώ επίσης για τις παρατηρήσεις σας (βλέπετε αυτές μας κάνουν καλύτερους) (αν και δεν βρήκα το τρίτο λάθος)
γιατί πιστεύετε ότι θα έπρεπε να πάρω (έστω και για μέχρι εκεί που την έφτασα);
επί την ευκαιρία, έβγαλα ότι και
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Μάλλον δεν βρήκες ούτε το δεύτερο.black_char έγραψε:αν και δεν βρήκα το τρίτο λάθος
Η αιτιατική του ουσιαστικού "ο διδάσκων" είναι "τον διδάσκοντα". Τώρα, επειδή ακολουθεί το "μου" (ή "μας") υπάρχει αναβιβασμός τόνου και γράφουμε "τον διδάσκοντά μου".
Γιατί η "λύση" δεν λέει απολύτως τίποτα (αν και η άσκηση είναι απόλυτα τετριμμένη). Για παράδειγμα η μεταβατική ιδιότητα έχει δύο υποθέσεις και πρέπει να δίξουμε μία συνεπαγωγή. Πού τα δείχνεις αυτά;black_char έγραψε: γιατί πιστεύετε ότι θα έπρεπε να πάρω
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:47 pm
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Μα έτσι μας έδωσε τις απαντήσεις και ο διδάσκων σε ένα υπερβολικά παρόμοιο παράδειγμα (με χρήση της σχέσης ισοδυναμίας), βέβαια ίσως και να νόμιζε ότι μερικά από αυτά που παρέλειψε εννοούνται.. τι να πω..Mihalis_Lambrou έγραψε:Γιατί η "λύση" δεν λέει απολύτως τίποτα (αν και η άσκηση είναι απόλυτα τετριμμένη). Για παράδειγμα η μεταβατική ιδιότητα έχει δύο υποθέσεις και πρέπει να δείξουμε μία συνεπαγωγή. Πού τα δείχνεις αυτά;
Αν δεν με πιστεύετε, μπορώ να σας στείλω και εικόνες του τετραδίου με παραδείγματα από τον διδάσκοντα σε pm, βέβαια θα μου πείτε και πω ξέρω εγώ ότι αυτά στο τετράδιο, είναι ακριβώς αυτά που έγραψε/είπε ο καθηγητής, εκεί παραδέχομαι ότι δεν μπορώ να κάνω τίποτα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Γράφεις λόγια, λόγια, λόγια αλλά την λύση αποφεύγεις να την γράψεις. Stop beating about the bush, όπως λένε οι Εγγλέζοι, και έλα στην ουσία ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ.
Για να συνοψίσω, γράψε την απόδειξη σαν να την δίδασκες σε τρίτο άτομο, και άσε τις υπεκφυγές και την μεταφορά της ευθύνης.
Απλά τα πράγματα και ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΗ η άσκηση. Πολλή φασαρία για το τίποτα.
Μην τα ρίχνεις στον διδάσκοντα, για τον απλούστατο λόγο ότι όταν γράφει κάτι στον πίνακα, μιλάει κιόλας. Αυτή η ομιλία, που προφανώς λείπει από το τετράδιό σου, μπορεί να είναι η πεμπτουσία του θέματος.black_char έγραψε: Μα έτσι μας έδωσε τις απαντήσεις και ο διδάσκων σε ένα υπερβολικά παρόμοιο παράδειγμα (με χρήση της σχέσης ισοδυναμίας), βέβαια ίσως και να νόμιζε ότι μερικά από αυτά που παρέλειψε εννοούνται.. τι να πω..
Για να συνοψίσω, γράψε την απόδειξη σαν να την δίδασκες σε τρίτο άτομο, και άσε τις υπεκφυγές και την μεταφορά της ευθύνης.
Απλά τα πράγματα και ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΗ η άσκηση. Πολλή φασαρία για το τίποτα.
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:47 pm
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Μάλιστα, αν έβρισκα την λύση σε μια κανονική μορφή όπως εννοείται κι εσείς, θα την έγραφα και στο θέμα (δεν θα την κρατούσα μόνο για τον εαυτό μου ), πάντως το μόνο που ήθελα εγώ ήταν να βρω μόνος μου τα , και τα βρήκα χάρης την βοήθεια σας φυσικά (γιατί την λύση την είχα και έτοιμη στο τετράδιο).
Με όλο τον σεβασμό βέβαια και ζητώ συγνώμη, αν έφτασα το θέμα πολύ μακριά ή αν βγήκα εκτός θέματος..
Με όλο τον σεβασμό βέβαια και ζητώ συγνώμη, αν έφτασα το θέμα πολύ μακριά ή αν βγήκα εκτός θέματος..
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Μάλλον δεν έγινα κατανοητός. Κάνω άλλη μία προσπάθεια:
Με ωθεί ο δάσκαλος μέσα μου, αλλά μεταφορά γνώσης με το τσιγκέλι δεν γίνεται.Mihalis_Lambrou έγραψε:Γράφεις λόγια, λόγια, λόγια αλλά την λύση αποφεύγεις να την γράψεις. Stop beating about the bush, όπως λένε οι Εγγλέζοι, και έλα στην ουσία ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ.
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:47 pm
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Αν μου έπεφτε αυτή η άσκηση στο διαγώνισμα (αυτή την στιγμή), αυτό θα έδινα σαν λύση..
Ερώτηση: Να βρεθούν τα l , m έτσι ώστε η R να είναι σχέση ισοδυναμίας.
Απάντηση:
Εφόσον η αποτελεί σχέση ισοδυναμίας, τότε πρέπει να ικανοποιεί και τις τρεις ιδιότητες: την ανακλαστική, την συμμετρική και την μεταβατική, άρα έχουμε:
η ανακλαστική:
τότε:
άρα: και
η συμμετρική ισχύει ήδη, άρα η μεταβατική:
αυτά, άν και με αυτά που μου είπατε, δεν περιμένω να είναι σωστά
Ερώτηση: Να βρεθούν τα l , m έτσι ώστε η R να είναι σχέση ισοδυναμίας.
Απάντηση:
Εφόσον η αποτελεί σχέση ισοδυναμίας, τότε πρέπει να ικανοποιεί και τις τρεις ιδιότητες: την ανακλαστική, την συμμετρική και την μεταβατική, άρα έχουμε:
η ανακλαστική:
τότε:
άρα: και
η συμμετρική ισχύει ήδη, άρα η μεταβατική:
αυτά, άν και με αυτά που μου είπατε, δεν περιμένω να είναι σωστά
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Αν και η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή, δυστυχώς η λύση είναι προβληματική και δείχνει ότι δεν έχεις κατανοήσει τις έννοιες.black_char έγραψε:Αν μου έπεφτε αυτή η άσκηση στο διαγώνισμα (αυτή την στιγμή), αυτό θα έδινα σαν λύση..
Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου ποσοδείκτες, ενώ σε κάποια βήματα ΠΡΕΠΕΙ να χρησιμοποιήσεις καθολικό ποσοδείκτη. Δεν είναι μόνο για "διακοσμητικό" λόγο αλλά είναι ουσιαστικό στοιχείο σε κάποιο βήμα του συλλογισμού.
Επίσης, το πρώτο ουσιαστικό λάθος είναι στο βήμα:
Πουθενά στα προηγούμενα βήματα (δηλαδή σε όσα έχεις αποδείξει μέχρι τώρα) δεν προκύπτει ότι η είναι αυτή που γράφεις. Είναι αυθαίτερο το βήμα. Προφανώς το αντιγράφεις από κάπου και δεν κατανοείς πώς προκύπτει.black_char έγραψε:
Εδώ χάθηκε το στο δεξί μέλος. Το έβαλες (αυθαίρετα) και το χρησιμοποίησες στο επόμενο βήμα. Άρα έχουμε πρόβλημα.black_char έγραψε:
Εδώ έχουμε σοβαρό κενό στον συλλογισμό που δείχνει ότι δεν κατανόησες ποιο ακριβώς είναι το ζητούμενο. Η συμμετρική ιδιότητα είναι μία συνεπαγωγή. Έχεις ως υπόθεση το και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε (με αυτό ως υπόθεση) ότι ισχύει η . Τίποτα από αυτά δεν έχεις κάνει. Ακριβέστερα, δεν έχει καταγράψει ποιο είναι το αποδεικτέο. Το συγκεκριμένο είναι ιδιαίτερα εύκολο να αποδειχθεί, αλλά είναι απαραίτητο (σε διαγώνισμα) να καταγραφεί έστω αν στο τέλος πεις ότι "η απόδειξη είναι άμεση". Πρέπει όμως να φαίνεται ποια είναι η αποδεικτέα συνεπαγωγή.black_char έγραψε: η συμμετρική ισχύει ήδη
Όπως ανέφερα, η λύση είναι προβληματική. Δυστυχώς (λόγω της απλότητας της άσκησης) δεν θα έπαιρνε καθόλου μονάδες σε διαγώνισμα καθώς λείπουν τα βήματα τα οποία δείχνουν ότι κατανόησες τι είναι η σχέση ισοδυναμίας (το οποίο είναι το ζητούμενο της άσκησης).black_char έγραψε:αυτά, άν και με αυτά που μου είπατε, δεν περιμένω να είναι σωστά
Ελπίζω να ξεκαθάρισα την κατάσταση. Ίσως επιστρέψω με σωστή λύση, αλλά για την ώρα έχω φόρτο εργασίας και έχασα άσκοπα πάρα πολύ χρόνο.
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:47 pm
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Μάλιστα, και πάλι ευχαριστώ που ασχοληθήκατε..Mihalis_Lambrou έγραψε:αλλά για την ώρα έχω φόρτο εργασίας και έχασα άσκοπα πάρα πολύ χρόνο.
Υποθέτω δεν μένει τίποτα άλλο πάρα να διαβάσω και να εξασκηθώ περισσότερο..
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σχέση Ισοδυναμίας
Πριν γράψω λύση θα ήθελα να μου έλυνες την απορία: Γιατί κάθε τόσο βάζεις δύο τελείες στο τέλος των προτάσεων; Δεν αρκεί η μία; Είναι της μόδας αυτή η πρακτική αλλά έχασα επεισόδια και μόλις τώρα το αντιλήφθηκα ή πρόκειται για ελαφρά τη καρδία βεβήλωση της υπέροχης γλώσσας μας; Ιδού η απορία!
Άσκηση: Να βρεθούν τα , έτσι ώστε η να είναι σχέση ισοδυναμίας, όπου
(πρέπει ακόμη να προσθέσουμε ότι όλοι οι εμφανιζόμενοι αριθμοί είναι πραγματικοί, ή άλλα ισοδύναμα.)
Λύση. Για να ισχύει η ανακλαστική ιδιότητα πρέπει για κάθε να ισχύει , δηλαδή (για κάθε )
Αφού έχουμε ισότητα πολυωνύμων για άπειρα έπεται ότι οι συντελεστές τους είναι ίσοι, δηλαδή και . Έπεται ότι και η γίνεται
Εύκολα τώρα δείχνουμε ότι η είναι σχέση ισοδυναμίας. Δεν έχουμε παρά να ελέγξουμε ότι ισχύουν η συμμετρική και η μεταβατική ιδιότητα, δηλαδή οι συνεπαγωγές
και .
Και οι δύο είναι άμεσες. Π.χ. η πρώτη έπεται από τα
και ανάλογα η μεταβατική. Τελειώσαμε.
Τόόόόόσο απλά. Και πολλά λόγια έγραψα. Θα μπορούσα με τα μισά.
black_char έγραψε:Η άσκηση έχει ως εξής..
black_char έγραψε: να το λύσω..
black_char έγραψε: ότι υπάρχει..
black_char έγραψε: εκτός θέματος..
black_char έγραψε: σαν λύση..
black_char έγραψε: που ασχοληθήκατε..
Στο θέμα μας. Αντιγράφω την εκφώνηση:black_char έγραψε: εξασκηθώ περισσότερο..
Άσκηση: Να βρεθούν τα , έτσι ώστε η να είναι σχέση ισοδυναμίας, όπου
(πρέπει ακόμη να προσθέσουμε ότι όλοι οι εμφανιζόμενοι αριθμοί είναι πραγματικοί, ή άλλα ισοδύναμα.)
Λύση. Για να ισχύει η ανακλαστική ιδιότητα πρέπει για κάθε να ισχύει , δηλαδή (για κάθε )
Αφού έχουμε ισότητα πολυωνύμων για άπειρα έπεται ότι οι συντελεστές τους είναι ίσοι, δηλαδή και . Έπεται ότι και η γίνεται
Εύκολα τώρα δείχνουμε ότι η είναι σχέση ισοδυναμίας. Δεν έχουμε παρά να ελέγξουμε ότι ισχύουν η συμμετρική και η μεταβατική ιδιότητα, δηλαδή οι συνεπαγωγές
και .
Και οι δύο είναι άμεσες. Π.χ. η πρώτη έπεται από τα
και ανάλογα η μεταβατική. Τελειώσαμε.
Τόόόόόσο απλά. Και πολλά λόγια έγραψα. Θα μπορούσα με τα μισά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες