Υπάρχει μεγιστικό καλώς διατεταγμένο;

[nsmavrogiannis]

Η αναφορά μου σε λανθασμένη απόδειξη εδώ δεν ήταν σχήμα λόγου. Σε μια πρόσφατη απόδειξη που ανήρτησα για αυτό το θέμα και απέσυρα χρησιμοποίησα τον παρακάτω ισχυρισμό:
"Σε κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο υπάρχει μεγιστικό καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του".
Ο ισχυρισμός, όπως που επεσήμανε το Δημήτρης (dement) είναι εσφαλμένος. Γιατί;
Μαυρογιάννης

[nsmavrogiannis]

Μιας και βρήκα λίγο χρόνο και ελλείψει απάντησης γράφω μια:
Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικώς (άρα και μερικώς) διατεταγμένο σύνολο που είναι πυκνό στον εαυτό του, δηλαδή μεταξύ δύο στοιχείων του υπάρχει ένα τρίτο (μπορούμε να πάρουμε το ). Το δεν είναι καλώς διατεταγμένο διότι αν ήταν θα είχε πρώτο στοιείο αλλα το σύνολο των στοιχείων δεν έχει πρώτο στοιχείο (αν είχε κάποιο λόγω πυκνότητας θα διέθετε και ένα στοιχείο μεταξύ και άτοπο). Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μεγιστικό καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του . Θα είναι φυσικά . Θεωρούμε ένα στοιχείο και το επόμενο του στο καλώς διατεταγμένο σύνολο . Λόγω της πυκνότητας του θα υπάρχει στο ώστε . Έστω γραμμικώς διατεταγμένο με την διάταξη του . Διαπιστώνεται εύκολα ότι το είναι καλώς διατεταγμένο και επομένως το δεν είναι μεγιστικό (άτοπο).
Άρα ο ισχυρισμός είναι εσφαλμένος.
Μαυρογάννης