συνδυαστική

[lefsk]

Χαίρετε! Θέλω τη βοήθειά σας. Έχω 30 μπλε τετράδια, 20 πράσινα και 10 κόκκινα και θέλω να τα βάλω σε 2 ράφια και με νοιάζει η σειρά. Κάθε ράφι πρέπει να έχει τα μισά τετράδια. Πόσοι τρόποι υπάρχουν;
Ευχαριστώ

[Demetres]

Σε ένα ράφι ξέρεις με πόσους τρόπους μπορείς να τα βάλεις;

[lefsk]

Έτσι νομίζω.

[Demetres]

Σωστά. Τώρα που έχεις δύο ράφια τι πρέπει να κάνεις;

Για ευκολία ας υποθέσουμε πρώτα ότι τα δυο ράφια είναι διαφορετικά, ας πούμε το ένα μαύρο και το άλλο άσπρο. Με πόσους τρόπους μπορείς να βάλεις τα βιβλία σε αυτά τα ράφια;

[lefsk]

Εμείς μπορούμε να φτιάξουμε σειρές από 60 βιβλία. Αν κάθε τέτοια σειρά την χωρίσουμε στην μέση δε φτιάχνουμε τα 2 ράφια που θέλουμε;

[Demetres]

Ακριβώς. Αυτό είναι στην περίπτωση όπου τα ράφια είναι διαφορετικά. Τώρα σκέψου την περίπτωση όπου δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε τα ράφια.

[lefsk]

Θα είναι οι μισοί από αυτούς που θα είχαμε αν είχαμε 2 διαφορετικά ράφια;

[Demetres]

Είσαι κοντά αλλά δεν είναι αυτή η σωστή απάντηση. Σκέψου γιατί δεν είναι ακριβώς οι μισοί και τι μπορείς να κάνεις για να διορθώσεις την απάντηση.

[lefsk]

δια 60;

[Demetres]

Όχι. Τώρα απομακρύνθηκες περισσότερο.

[lefsk]

Τα ράφια τα κοιτάμε από μία μεριά, έτσι; Ή και από τις δύο; Ούτε το δια 4 είναι σωστό να φανταστώ;
Μάλλον πρέπει να την σκεφτώ πάλι αύριο με καθαρό μυαλό.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Βασικά το λάθος στο να διαιρέσουμε με το είναι ότι υπάρχουν περιπτώσεις που δεν διπλομετρούνται. Ειδικότερα, όταν τα δύο ράφια έχουν ακριβώς το ίδιο μοτίβο από βιβλία (1). Αυτές οι περιπτώσεις είναι , καθώς βρίσκουμε με πόσους τρόπους τα μισά βιβλία ( μπλε πράσινα και κόκκινα) μπαίνουν στο ένα ράφι. Το πως θα μπουν στο δεύτερο ράφι εξαρτάται άμεσα από το πως θα μπουν στο πρώτο, άρα ο τύπος δεν αλλάζει.

Επομένως για να διορθώσουμε τον τύπο νομίζω πως αρκεί να προσθέσουμε το στο για να υπάρχει η περίπτωση (1) δύο φορές και μετά διαιρούμε με το .

Με άλλα λόγια ο τύπος νομίζω πως είναι:

[Demetres]

Πολύ σωστά!

[lefsk]

Κατάλαβα, ευχαριστώ πολύ!