Διαμέριση του Χ x Υ

nikolasuoi · #1

Αν

είναι δύο μη κενά σύνολα, $\{A_{1}, A_{2}\}$ μια διαμέριση του

και $\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\}$ μια διαμέριση του

, να δείξετε ότι η $\big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\}$ είναι μια διαμέριση του $X \times Y$ .

#2

nikolasuoi έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 25, 2019 7:50 pm
Αν είναι δύο μη κενά σύνολα, $\{A_{1}, A_{2}\}$ μια διαμέριση του και $\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\}$ μια διαμέριση του , να δείξετε ότι η $\big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\}$ είναι μια διαμέριση του $X \times Y$ .

Είναι απόλυτα τετριμμένο. Δίνω μόνο υπόδειξη με το παρακάτω σχήμα. Δεν αξίζει περισσότερο μελάνι.

nikolauoi, περιμένουμε εδώ να συμπληρώσεις τις λεπτομέρειες.

nikolasuoi · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 25, 2019 11:55 pm

nikolasuoi έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 25, 2019 7:50 pm
Αν είναι δύο μη κενά σύνολα, $\{A_{1}, A_{2}\}$ μια διαμέριση του και $\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\}$ μια διαμέριση του , να δείξετε ότι η $\big\{ A_{i} \times B_{j} : i \in \{1, 2\}, j \in \{1, 2, 3\} \big\}$ είναι μια διαμέριση του $X \times Y$ .
Είναι απόλυτα τετριμμένο. Δίνω μόνο υπόδειξη με το παρακάτω σχήμα. Δεν αξίζει περισσότερο μελάνι.

nikolauoi, περιμένουμε εδώ να συμπληρώσεις τις λεπτομέρειες.

Γνωρίζω ότι πρέπει $\big\{ A_{i} \times B_{j} \big\}$ $= \cup X\times Y$ και $\cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash$
όμως δυσκολεύομαι με την ολοκληρωμένη γραφή της απόδειξης.

#4

nikolasuoi έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 26, 2019 12:47 am
Γνωρίζω ότι πρέπει $\big\{ A_{i} \times B_{j} \big\}$ $= \cup X\times Y$ και $\cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash$
όμως δυσκολεύομαι με την ολοκληρωμένη γραφή της απόδειξης.

Κάνε προσπάθεια γιατί είναι ΠΟΛΥ απλό.

Ας επισημάνω ότι τα $\big\{ A_{i} \times B_{j} \big\}$ $= \cup X\times Y$ και $\cap \left \{ \right.A_{i} \times B_{j}\left. \right \}= \oslash$ που γράφεις ως αποδεικτέα, είναι λάθος. Το πρώτη πρέπει να γίνει $\cup \big\{ A_{i} \times B_{j} \big\}$ $= X\times Y$ ενώ στο δεύτερο δεν θέλουμε η τομή όλων των $A_{i} \times B_{j}$ να είναι κενό αλλά ανά ζεύγη. Αυτά βγαίνουν (υπόδειξη:) από τις αντίστοιχες ιδιότητες των $A_{i} ,\, B_{j}$ .

nikolasuoi · #5

$\left ( \left ( \forall i\in \left \{ 1,2 \right \} \right ) A_{i}\subseteq X\right )\wedge \left ( \left ( \forall j\in \left \{ 1,2,3 \right \} \right ) B_{j}\subseteq Y\right )$ $\Rightarrow$ $\left ( \forall \left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \} \right )A_{i}\times B_{j}\subseteq X\times Y$ $\Rightarrow$ $\cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}\subseteq X\times Y$ .

Αντίστροφα, για τυχόν ζεύγος $\left ( x,y \right )$ έχουμε:

$\left ( x,y \right )\in X\times Y\Leftrightarrow \left ( x\in X\wedge y\in Y \right )\Rightarrow \left ( \left ( \exists i\in \left \{ 1,2 \right \} \right )x\in A_{i} \right )\wedge \left ( \left ( \exists j\in \left \{ 1,2,3 \right \} \right )y\in B_{j} \right )\Leftrightarrow \left (\exists \left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \} \right )\left ( x,y \right )\in A_{i}\times B_{j}\Rightarrow \left ( x,y \right )\in \cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}.$

Άρα
$\cup _{\left (i,j \right )\in \left \{ 1,2 \right \}\times \left \{ 1,2,3 \right \}}A_{i}\times B_{j}=X\times Y$

Επιπλέον, αν ισχύει $\left ( i,j \right )\neq \left ( u,v \right )$ , έχουμε $i\neq u \vee j\neq v$ , οπότε παίρνουμε:

$i\neq u\vee j\neq v\Rightarrow A_{i}\cap A_{u}=\varnothing \vee B_{j}\cap B_{v}=\varnothing \Rightarrow \left ( A_{i}\cap A_{u} \right )\times \left ( B_{j}\cap B_{v} \right )=\left ( A_{i}\times B_{j} \right )\cap \left ( A_{u}\times B_{v} \right )$ $=\varnothing$ .

Επομένως, η $\left \{ A_{i}\times B_{j} \right \}$ είναι μια διαμέριση του $X\times Y$ .

Είναι ολοκληρωμένη τωρα; Υπάρχει κάποια ένσταση; Γίνεται ακόμα πιο απλά;

#6

nikolasuoi έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 26, 2019 11:46 pm
Είναι ολοκληρωμένη τωρα; Υπάρχει κάποια ένσταση; Γίνεται ακόμα πιο απλά;

Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι γράφεις πολύ φορμαλιστικά για ένα τόσο απλό, τετριμμένο, θέμα. Σωστός μεν ο φορμαλισμός, αλλά δεν πρέπει να κάνουμε τα εύκολα να φαίνονται δύσκολα.

nikolasuoi · #7

Ευχαριστώ πάρα πολύ για την ενασχόληση.

Διαμέριση του Χ x Υ

Διαμέριση του Χ x Υ

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Re: Διαμέριση του Χ x Υ

Μέλη σε σύνδεση